[논문 리뷰] Cuf products and cuf sums of (quasi)-metrizable spaces in $\mathbf{ZF}$

Kyriakos Keremedis, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 27.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선택공리 없이 제르멜로-프랭크엘 집합론(ZF)에서 약한 선택공리와 준메트라이징 가능성 사이의 상호작용을 조사한다. ZF에서 가산 개의 코프래티브(cuf, 가산 합집합의 유한 집합) 또는 가산 기수 집합의 곱공간이 준메트라이징 가능할 조건은 모든 가산 합집합의 cuf 집합이 cuf일 때이고, 이는 첫 번째 가산성은 갖지만 준메트라이징 가능하지 않은 두점 코어프래티브 하우스도르프 컴팩트리케이션의 가산 곱공간을 포함하는 ZF 모델을 구성함으로써 일반 위상수학에서 약한 선택공리 하의 독립성 결과를 입증한다.

ABSTRACT

A cuf space (set, resp.) is a space (set, resp.) which is a countable union of finite subspaces (subsets, resp.). It is proved in $\mathbf{ZF}$ (with the absence of the axiom of choice) that all countable unions of cuf (denumerable, resp.) sets are cuf sets iff all countable products of cofinite cuf (denumerable, resp.) spaces are quasi-metrizable iff all countable products of one-point Hausdorff compactifications of infinite cuf (denumerable, resp.) spaces are quasi-metrizable. A countable product of one-point Hausdorff compactifications of denumerable discrete spaces is first-countable iff it is quasi-metrizable. A model of $\mathbf{ZF}$ is shown in which a countable product two-point Hausdorff compactifications of denumerable discrete spaces is first-countable without being quasi-metrizable. Other relevant independence results are also proved.

연구 동기 및 목표

• 선택공리 없이 ZF 집합론에서 (준)메트라이징 가능 공간의 가산 곱공간의 준메트라이징 가능성 결정에 있어 약한 선택공리의 역할을 조사하는 것.
• 모든 가산 합집합의 cuf 집합이 cuf라는 문장과 코프래티브 cuf 또는 가산 기수 공간의 곱공간의 준메트라이징 가능성 사이의 논리적 관계를 명확히 하는 것.
• 가산 곱공간이 첫 번째 가수성은 갖지만 준메트라이징 가능하지 않은 ZF 모델을 구성함으로써 독립성 결과를 확립하는 것.
• 선택공리의 부재 하에서 컴팩트 하우스도르프 준메트라이징 가능 공간이 언제 메트라이징 가능해지는지 조사하는 것.

제안 방법

• 선택공리를 배제한 ZF 집합론을 기반으로 하여 cuf(가산 합집합의 유한 집합) 집합과 그 곱공간의 위상적 성질을 분석하는 데 사용한다.
• 위상적 맥락에서 유한 또는 가산 기수 집합의 가산 합집합을 기술하기 위해 cuf 공간과 cuf 합의 개념을 적용한다.
• 대부분의 반례를 생성하고 위상적 성질을 분석하기 위해 이산 공간의 한점 하우스도르프 컴팩트리케이션의 개념을 활용한다.
• Loeb 함수와 가산 선택공리(CAC)를 사용하여 ZF에서 컴팩트하고, 하우스도르프이며, 준메트라이징 가능한 Loeb 공간이 메트라이징 가능하다는 것을 증명한다.
• 두점 하우스도르프 컴팩트리케이션의 가산 곱공간이 첫 번째 가수성은 갖지만 준메트라이징 가능하지 않은 특정 ZF 모델을 구성함으로써 표준 선택공리 원리로부터의 독립성을 입증한다.
• 준메트릭에 의해 유도된 위상 τ(d)와 그 쌍대 위상 τ(d⁻¹)를 사용하여 비트로피컬 공간을 분석하고, 메트라이징 가능성과 분리 가능성을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZF에서 모든 가산 합집합의 cuf 집합이 cuf라는 문장은 모든 코프래티브 cuf(또는 가산 기수) 공간의 곱공간이 준메트라이징 가능하다는 것과 논리적으로 동치인가?
• RQ2 가산 기수 이산 공간의 한점 하우스도르프 컴팩트리케이션의 곱공간이 ZF에서 첫 번째 가수성을 갖는다는 것은 그 곱공간이 준메트라이징 가능하다는 것을 의미하는가?
• RQ3 두점 하우스도르프 컴팩트리케이션의 가산 곱공간이 첫 번째 가수성은 갖지만 준메트라이징 가능하지 않은 ZF 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ4 선택공리의 부재 하에서 컴팩트 하우스도르프 준메트라이징 가능 공간이 언제 메트라이징 가능해지는가?
• RQ5 Loeb 성질은 ZF에서 컴팩트 하우스도르프 준메트라이징 가능 공간이 메트라이징 가능하게 하는 데 충분한가?

주요 결과

• ZF에서 모든 가산 합집합의 cuf(또는 가산 기수) 집합이 cuf일 조건은 모든 코프래티브 cuf(또는 가산 기수) 공간의 곱공간이 준메트라이징 가능할 조건과 동치이다.
• 가산 기수 이산 공간의 한점 하우스도르프 컴팩트리케이션의 곱공간은 첫 번째 가수성일 조건은 준메트라이징 가능할 조건과 동치이다.
• 가산 기수 이산 공간의 두점 하우스도르프 컴팩트리케이션의 곱공간이 첫 번째 가수성은 갖지만 준메트라이징 가능하지 않은 ZF 모델이 구성되었으며, 이는 ZF에서 첫 번째 가수성이 준메트라이징 가능성을 함의하지 않는다는 것을 보여준다.
• ZF에서 모든 컴팩트 하우스도르프 준메트라이징 가능한 Loeb 공간은 메트라이징 가능하며, Loeb 성질은 쌍대 위상의 분리 가능성을 함의한다.
• 가산 선택공리(CAC)는 ZF에서 모든 컴팩트 하우스도르프 준메트라이징 가능한 공간이 메트라이징 가능하다는 것을 함의한다.
• 컴팩트 하우스도르프 준메트라이징 가능한 공간에 대해 다음 조건들은 ZF에서 서로 동치이다: Loeb 성질을 갖는 것, 쌍대 위상이 분리 가능할 조건, 두 번째 가산 조건, 그리고 메트라이징 가능성.