[논문 리뷰] Cuntz semigroups of C*-algebras of stable rank one and projective Hilbert modules

Huaxin Lin|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 안정적 차수 1인 단순 C*-대수에서 두 σ-콤��� 열린 프로젝션은 Cuntz 동치일 필요와 충분조건이, 그들을 연결하는 연속적인 유니터리 경로가 존재할 때임을 확립한다. 또한, 유계 모듈러스 사상이 수반을 가지는 Hilbert A-모듈의 범주에서 모든 Hilbert A-모듈이 프로젝티브임을 증명하며, Cuntz 준군이 Hilbert 모듈의 구조와 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

Let $A$ be a simple C*-algebra of stable rank one and let $p$ and $q$ be two $σ$-compact open projections. It is proved that there is a continuous path of unitaries in ${ ilde A}$ which connects open sub-projections of $p$ which is compactly contained in $p$ to those in $q.$ It is also shown that every Hilbert module is projective in the category whose morphisms are bounded module maps with adjoints. A discussion of projective Hilbert modules (whose morphisms are bounded module maps) is also given.

연구 동기 및 목표

• C*-대수에서 Cuntz 준군과 Hilbert 모듈의 구조 간의 관계를 명확히 하기.
• σ-콤팩트 열린 프로젝션의 Cuntz 동치가 그들을 연결하는 연속적인 유니터리 경로의 존재를 의미하는지 조사하기.
• 특히 수반을 가지는지 여부에 따라 다른 유형의 유계 모듈러스 사상이 있는 범주에서 Hilbert A-모듈의 프로젝티브 성질을 규명하기.
• 안정적 차수 1이 열린 프로젝션과 양의 원소의 호모토피 및 동치 성질에 미치는 영향을 탐색하기.

제안 방법

• L. G. Brown의 열린 프로젝션과 그들의 동치성에 관한 결과를 활용하여 호모토피와 Cuntz 동치를 연결한다.
• 양의 원소와 열린 프로젝션에 대한 Cuntz 관계를 적용하여 $ a \lessapprox b $ 및 $ a \lesssim b $ 를 정의하고, Cuntz 준군 $ W(A) $ 와 $ Cu(A) $ 를 유도한다.
• 스펙트럼이 $[0,1]$ 인 양의 원소 $ a $ 에 대해 근사 항등원 $ \{f_n(a)\} $ 과 $ \{g_n(a)\} $ 을 구성하며, $ e_n d_n = e_n $, $ d_n d_m = 0 $ ($ |n-m| \geq 2 $) 를 만족하는 프로젝션 $ e_n $ 과 $ d_n $ 을 정의한다.
• 모듈러스 사상 $ T: H \to H_1 $ 를 $ T(b) = \sum_{n=1}^\infty \xi_n b $ 로 정의하며, 여기서 $ \xi_n = (1 - p_n)x_n d_n $ 이고, $ \varphi \circ T = \psi $ 를 확보한다.
• 프로젝티브 성질을 증명하기 위해 노름 추정 $ \|T\| \leq 2\|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ 을 사용한다.
• K(H) 의 순차적 중심 근사 항등원을 적용하여 노름 추정을 $ \|T\| \leq \|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ 으로 정밀화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 C*-대수에서 안정적 차수 1일 때, 두 σ-콤팩트 열린 프로젝션은 언제 Cuntz 동치인가?
• RQ2 주어진 열린 프로젝션의 두 σ-콤팩트 열린 부분프로젝션을 연결하는 $ \tilde{A} $ 내의 연속적인 유니터리 경로가 존재하는가?
• RQ3 유계 모듈러스 사상이 수반을 가지는 범주에서 Hilbert A-모듈이 프로젝티브가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Cuntz 준군은 Hilbert A-모듈의 동형류와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 안정적 차수 1인 C*-대수에서 열린 프로젝션의 Cuntz 동치는 그들을 연결하는 연속적인 유니터리 경로의 존재와 동치인가?

주요 결과

• 단순 C*-대수에서 안정적 차수 1일 때, 두 σ-콤팩트 열린 프로젝션은 Cuntz 동치일 필요와 충분조건이 $ \tilde{A} $ 내에서 그들을 연결하는 연속적인 유니터리 경로가 존재할 때이다.
• 모든 Hilbert A-모듈은 유계 모듈러스 사상이 수반을 가지는 Hilbert A-모듈의 범주에서 프로젝티브이다.
• 모든 사영 유계 모듈러스 사상 $ \varphi: H_1 \to H_2 $ 와 임의의 유계 모듈러스 사상 $ \psi: H \to H_2 $ 에 대해, $ \|T\| \leq 2\|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ 를 만족하는 릿지 $ T: H \to H_1 $ 이 존재한다.
• 만약 $ K(H) $ 가 프로젝션의 순차적 중심 근사 항등원을 갖는다면, 릿지 $ T $ 는 $ \|T\| \leq \|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ 을 만족한다.
• $(A \otimes \mathcal{K})^{**}$ 내에서 범위 프로젝션 $ p_a $ 와 $ p_b $ 의 Cuntz 동치는 Hilbert A-모듈 $ \overline{aA} $ 와 $ \overline{bA} $ 의 동형과 동치이다.
• Hilbert A-모듈 $ H = \bigoplus_{i=1}^n \overline{x_i A} $ 는 각각의 $ K(H_i) $ 가 순차적 중심 근사 항등원을 갖는다면 프로젝티브이다.