[논문 리뷰] Cuts, Primal Heuristics, and Learning to Branch for the Time-Dependent Traveling Salesman Problem

Christoph Hansknecht, Imke Joormann외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 03.

Vehicle Routing Optimization Methods참고 문헌 23인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 간선 비용을 고려하는 시간의존 순회판매원 문제(TDTSP)를 위한 분기컷 프레임워크를 제안한다. 이는 일반화된 삼각부등식 하에서도 TDTSP가 NP-난이도이자 APX-난이도임을 보여주며, 특화된 컷, 원시 해법, 학습 기반 분기 전략을 통해 1시간 이내에 최적성 갭을 6%로 줄였다. 이는 표준 솔버보다 뚜렷하게 뛰어난 성능을 보였지만, 강력한 분기 규칙을 학습시키는 데에는 성공하지 못했다.

ABSTRACT

We consider the time-dependent traveling salesman problem (TDTSP), a generalization of the asymmetric traveling salesman problem (ATSP) to incorporate time-dependent cost functions. In our model, the costs of an arc can change arbitrarily over time (and do not only dependent on the position in the tour). The TDTSP turns out to be structurally more difficult than the TSP. We prove it is NP-hard and APX-hard even if a generalized version of the triangle inequality is satisfied. In particular, we show that even the computation of one-trees becomes intractable in the case of time-dependent costs. We derive two IP formulations of the TDTSP based on time-expansion and propose different pricing algorithms to handle the significantly in- creased problem size. We introduce multiple families of cutting planes for the TDTSP as well as different LP-based primal heuristics, a propaga- tion method and a branching rule. We conduct computational experiments to evaluate the effectiveness of our approaches on randomly generated in- stances. We are able to decrease the optimality gap remaining after one hour of computations to about six percent, compared to a gap of more than forty percent obtained by an off-the-shelf IP solver. Finally, we carry out a first attempt to learn strong branching decisions for the TDTSP. At the current state, this method does not improve the running times.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 간선 비용과 도착 시간에 따라 비용이 달라지는 TDTSP의 계산 난이도를 해결한다.
• TDTSP에 특화된 수식, 컷 평면, 원시 해법을 개발하여 기존 접근 방식의 한계를 극복한다.
• 기계학습 기반 기법이 TDTSP의 분기 결정을 향상시켜 분기-경계 효율성을 높일 수 있는지 조사한다.
• 특화된 컷과 해법이 적용된 후에도 TDTSP가 일반화된 삼각부등식 하에서 여전히 NP-난이도이자 근사 불가능하다는 점을 입증한다.
• lambdaMART를 사용한 학습 기반 분기 전략의 효과를 TDTSP 전용 특징을 기반으로 평가하고, 표준 SCIP 분기 전략과 비교한다.

제안 방법

• 시간 확장 그래프를 사용해 TDTSP를 수식화하여 시간에 따라 변하는 비용을 계층적 네트워크로 변환하고, 각 시간점 θ에 대해 간선 (u,v,θ)를 정의한다.
• 정수계획법의 타당성 해석을 강화하기 위해 다양한 컷 평면 가족을 개발하였으며, STDTSP 부등식의 일반화도 포함한다.
• LP 기반 원시 해법과 목적함수 값 전파 기법을 구현하여 원시 하한을 향상시켰으며, 이는 비대칭 TSP와의 유사성을 활용한다.
• 비용 대 LP 비율, 변수의 경계, 컴ponent 크기 등의 특징을 기반으로 lambdaMART를 사용해 순위 함수를 학습시켜 분기 규칙을 설계한다.
• 시간 확장으로 인한 문제 크기의 기하급수적 증가를 관리하기 위해 가당식 이론을 가격 계산 루틴에 통합한다.
• 20~30개의 훈련 인스턴스에서 5,000개 이상의 샘플을 수집하여 강력한 분기 점수를 타깃으로 학습 기반 분기 규칙을 훈련시켰다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도착 시간에 따라 변하는 시간의존 비용이 일반화된 삼각부등식 하에서도 표준 ATSP보다 TDTSP를 본질적으로 더 어렵게 만들 수 있는가?
• RQ2 표준 TSP 컷과 원시 해법은 TDTSP에 얼마나 잘 적용될 수 있으며, 이로 인해 이중 및 원시 하한이 얼마나 향상되는가?
• RQ3 기계학습 기법, 특히 lambdaMART는 TDTSP 분기-컷 프레임워크에서 효과적인 분기 결정을 학습하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 학습된 분기 규칙은 솔루션 시간과 최적성 갭 측면에서 표준 강력한 분기 전략을 능가하는가?
• RQ5 시간의존 트리와 같은 특정 허용 해석이 단순한 변형에서는 성공했지만 TDTSP에서는 유용한 하한을 제공하지 못하는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 시간의존 삼각부등식 하에서도 TDTSP는 NP-난이도이자 APX-난이도이며, 한 개의 트리 계산조차도 비가역적이다.
• 제안된 분기-컷 프레임워크는 계산 시간 1시간 이내에 최적성 갭을 6%로 줄였고, 표준 IP 솔버는 40% 이상을 기록했다.
• 원시 해법과 목적함수 값 전파 기법이 최적성 갭을 크게 줄였으며, 솔버 내장 해법보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 학습 기반 분기 전략은 TDTSP 전용 특징을 기반으로 훈련되었지만 실행 시간 향상에 기여하지 못했고, SCIP의 내장 분기 전략보다 열등했다.
• 시간 확장 수식과 라그랑주 가격 기반 정렬을 결합함으로써 문제 크기의 급격한 증가를 처리할 수 있었다.
• 학습된 분기 전략의 실패는 더 나은 특징 공학, 강화학습, 또는 직접적인 해법 학습이 TDTSP에서 기계학습의 잠재력을 펼 수 있도록 하기 위해 필요하다는 것을 시사한다.