[论文解读] Cycles of given lengths in hypergraphs

Tao Jiang, Jie Ma|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文引入一个新颖的组合引理，用于研究超图中的环长，证明了每个平均度为 $\Omega(k^{r-1})$ 的 $r$-均匀超图均包含 $k$ 个连续长度的 Berge 环，从而证实了 Verstra€«te 的猜想。该方法还得到了 Berge 环的 Turán 数的紧致界，并改进了偶环的 Zarankiewicz 数。

ABSTRACT

In this paper, we develop a method for studying cycle lengths in hypergraphs. Our method is built on earlier ones used in [21,22,18]. However, instead of utilizing the well-known lemma of Bondy and Simonovits [4] that most existing methods do, we develop a new and very simple lemma in its place. One useful feature of the new lemma is its adaptiveness for the hypergraph setting. Using this new method, we prove a conjecture of Verstraëte [37] that for $r\ge 3$, every $r$-uniform hypergraph with average degree $Ω(k^{r-1})$ contains Berge cycles of $k$ consecutive lengths. This is sharp up to the constant factor. As a key step and a result of independent interest, we prove that every $r$-uniform linear hypergraph with average degree at least $7r(k+1)$ contains Berge cycles of $k$ consecutive lengths. In both of these results, we have additional control on the lengths of the cycles, which therefore also gives us bounds on the Turán numbers of Berge cycles (for even and odd cycles simultaneously). In relation to our main results, we obtain further improvements on the Turán numbers of Berge cycles and the Zarankiewicz numbers of even cycles. We will also discuss some potential further applications of our method.

研究动机与目标

• 为解决 Verstra€«te 关于 $r$-均匀超图中存在 $k$ 个连续 Berge 环长度的猜想。
• 开发一个新且自适应的引理，用于超图环问题，以替代经典的 Bondy-Simonovits 引理。
• 建立 Berge 环的 Turán 数的紧致界，并改进偶环的 Zarankiewicz 数。
• 将结果推广至线性超图，并探讨其在线性环和彩虹 Turán 问题中的应用。

提出的方法

• 引入一个新、简单且适用于超图的引理，以替代环长极值问题中经典的 Bondy-Simonovits 引理。
• 利用新引理证明：平均度至少为 $7r(k+1)$ 的 $r$-均匀线性超图包含 $k$ 个连续的 Berge 环长度。
• 将该方法应用于推导 Berge 环长度为 $k$ 个连续长度的 Turán 数 $\mathrm{ex}_r(n,\{C_\ell^{\text{Berge}}\}_{\ell=k}^{k+\ell-1})$ 的紧致界。
• 利用该方法改进已知的偶环 Zarankiewicz 数的上界。
• 将该方法适配于线性超图，证明在平均度为 $\Omega(k)$ 时，线性 $r$-图中存在 $k$ 个连续的线性环。
• 通过归纳法和删边论证，界定 $k$-环自由子超图中的超边数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $r$-均匀超图中，保证存在 $k$ 个连续 Berge 环长度的最小平均度是多少？
• RQ2 能否构造一个比 Bondy-Simonovits 引理更适用于超图环境的新组合引理？
• RQ3 Berge 环长度为 $k$ 个连续长度的 Turán 数的最紧致界是什么？
• RQ4 该方法能否推广至线性超图中的线性环？
• RQ5 该方法能否对偶环的彩虹 Turán 问题有所贡献？

主要发现

• 本文证实了 Verstra€«te 的猜想：每个平均度为 $\Omega(k^{r-1})$ 的 $r$-均匀超图均包含 $k$ 个连续长度的 Berge 环。
• 对于线性 $r$-均匀超图，平均度至少为 $7r(k+1)$ 可保证存在 $k$ 个连续的 Berge 环长度。
• 该方法得到了 Berge 环长度为 $k$ 个连续长度的 Turán 数的紧致界，改进了已知结果。
• 该方法改进了偶环 Zarankiewicz 数界中的系数，使其低于先前已知值。
• 该方法可推广至线性环，表明在平均度为 $\Omega(k)$ 的线性 $r$-图中，可保证存在 $k$ 个连续的线性环。
• 结果表明，保证 $k$ 个连续 Berge 环的最小平均度 $f_r(k)$ 为 $\Theta(k^{r-1})$，与猜想的下界一致。