[논문 리뷰] Cyclic Cohomology, Quantum group Symmetries and the Local Index Formula for SUq(2)

Alain Connes|ArXiv.org|2002. 09. 12.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비가환 기하학을 사용하여 양자군 $SU_q(2)$의 국소 지수 공식을 수립하며, Chakraborty와 Pal이 정의한 스펙트럴 트리플이 Connes의 일반 이론의 공리계를 만족한다는 것을 보여준다. 잔여 추적을 통해 국소 순환 코호몰로지류를 계산하고, 차원 스펙트럼을 \{1,2,3\}으로 식별하며, 코homology 이론에서 국소성과 양자군 불변성을 보여주는 바, 지수 차이가 Dedekind 에타 함수의 로그 도함수의 유리 근사에서의 잔여항에 의해 기록됨을 보여준다.

ABSTRACT

We analyse the noncommutative space underlying the quantum group SUq(2) from the spectral point of view which is the basis of noncommutative geometry, and show how the general theory developped in our joint work with H. Moscovici applies to the specific spectral triple defined by Chakraborty and Pal. This provides the pseudo-differential calculus, the Wodzciki-type residue, and the local cyclic cocycle giving the index formula. The cochain whose coboundary is the difference between the original Chern character and the local one is given by the remainders in the rational approximation of the logarithmic derivative of the Dedekind eta function. This specific example allows to illustrate the general notion of locality in NCG. The formulas computing the residue are "local". Locality by stripping all the expressions from irrelevant details makes them computable. The key feature of this spectral triple is its equivariance, i.e. the $SU_q(2)$-symmetry. We shall explain how this leads naturally to the general concept of invariant cyclic cohomology in the framework of quantum group symmetries.

연구 동기 및 목표

• Connes와 Moscovici의 일반 비가환 기하학 프레임워크를 $SU_q(2)$의 스펙트럴 트리플에 적용하기 위해.
• 비가환 군의 비자명한 예로서 $SU_q(2)$에 대해 국소 지수 공식을 명시적으로 계산하고 이론의 타당성을 검증하기 위해.
• 스펙트럴 트리플의 차원 스펙트럼과 잔여 추적을 식별하여 이들이 이산적이고 단순함을 보여주기 위해.
• 불필요한 세부 사항을 제거하여 공식을 계산 가능하게 함으로써 비가환 기하학에서 국소성의 역할을 입증하기 위해.
• 특히 $SU_q(2)$에 대해 양자군 대칭성 하에 불변하는 순환 코호몰로지류의 개념을 개발하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럴 트리플 $({\cal A}, {\cal H}, D)$를 사용하여 $D$ 가 $SU_q(2)$-작용에 대해 불변임을 이용해 비가환 공간을 정의한다.
• Wodzciki 유형의 잔여 추적과 Dixmier 추적을 통해 일반적인 국소 지수 공식 이론을 적용하여 코homology 성분을 계산한다.
• 차원 스펙트럼을 $\{1,2,3\}$으로 식별하여, zeta 함수 $\zeta_b(z) = \operatorname{Trace}(b|D|^{-z})$의 단순 극을 통해 잔여 추적이 잘 정의됨을 보장한다.
• 공식 $\int\!\!\!- P = \operatorname{Res}_{z=0} \operatorname{Trace}(P|D|^{-z})$ 를 사용하여 국소 순환 코호몰로지류를 구성하며, $\varphi_1$ 및 $\varphi_3$에 대한 명시적 표현을 제공한다.
• 전체 코호몰로지와 국소 코호몰로지의 차이를 주는 코체인을 Dedekind 에타 함수의 로그 도함수의 유리 근사에서의 잔여항과 연결한다.
• 양자 공구면(bundle) $S^*_q$ 와 자동형사의 일차 파라미터 군 $\gamma_t$ 를 도입하여 기하학적 흐름을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Connes-Moscovici의 일반 국소 지수 공식은 $SU_q(2)$의 특정 스펙트럴 트리플에 어떻게 적용되는가?
• RQ2 스펙트럴 트리플의 차원 스펙트럼은 무엇이며, 잔여 추적 계산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 전체 코호몰로지와 국소 코호몰로지의 차이는 수론적 표현으로 어떻게 기록되는가?
• RQ4 양자군 대칭성은 불변 순환 코호몰로지류를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비가환 기하학에서 국소성은 $SU_q(2)$에 대해 명시적이고 계산 가능한 공식으로 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 양자군 $SU_q(2)$의 차원 스펙트럼은 $\{1,2,3\}$이며, 이는 스펙트럴 트리플이 3차원임을 확인하고 국소 지수 공식의 적용을 가능하게 한다.
• 국소 지수 코호몰로지류는 $\varphi_1(a^0,a^1) = \int\!\!\!- a^0[D,a^1]|D|^{-1} - \frac{1}{4}\int\!\!\!- a^0\nabla([D,a^1])|D|^{-3} + \frac{1}{8}\int\!\!\!- a^0\nabla^2([D,a^1])|D|^{-5}$ 와 $\varphi_3(a^0,a^1,a^2,a^3) = \frac{1}{12}\int\!\!\!- a^0[D,a^1][D,a^2][D,a^3]|D|^{-3}$ 로 명시적으로 계산된다.
• 전체 코호몰로지와 국소 코호몰로지의 차이를 주는 코체인은 Dedekind 에타 함수의 로그 도함수의 유리 근사에서의 잔여항에서 기인한다.
• 잔여 추적은 국소적이며 계산 가능하며, 불필요한 세부 사항이 제거된 공식을 통해 비가환 기하학에서 국소성의 힘을 확인한다.
• 스펙트럴 트리플은 $SU_q(2)$에 대해 에quivariant하며, 이는 불변 순환 코호몰로지의 정의로 이어지고, 자동형사 $k^2$ 를 통한 사상 $\rho_\theta$ 가 $HC^*_{{\cal U}}({\cal A})$ 에서 $HC^*_{\rm inv}({\cal A}, \theta)$ 로 존재한다.
• 양자 공구면(bundle) $S^*_q$ 는 $D^2_{q+} \times D^2_{q-}$ 로 식별되며, 기하학적 흐름 $\gamma_t$ 를 지닌다. 이는 고전적 공구면을 일반화한다.