[논문 리뷰] Cyclic covers of the projective line, their jacobians and endomorphisms

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|2000. 08. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ y^p = f(x) $ 형태로 정의된 사영선의 순환 피복에 대해 그 아벨-자기환과 자기환의 구조를 조사한다. $ f(x) $가 $ n \geq 5 $ 차수의 기약다항식이며 갈루아군이 $ \mathbf{S}_n $ 또는 $ \mathbf{A}_n $일 경우, 아벨-자기환의 자기환은 정확히 $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $이며, 이는 최대 가환 부분환임을 증명한다. $ p $가 페르마 소수일 경우, 자기환은 정확히 $ \mathbf{Z}[\zeta_p] $이다.

ABSTRACT

We study the endomorphism ring $End(J(C))$ of the complex jacobian $J(C)$ of a curve $y^p=f(x)$ where $p$ is an odd prime and $f(x)$ is a polynomial with complex coefficiens of degree $n>4$ and without multiple roots. Assume that all the coefficients of $f$ lie in a (sub)field $K$ and the Galois group of $f$ over $K$ is either the full symmetric group $S_n$ or the alternating group $A_n$. Then we prove that $End(J(C))$ is the ring of integers in the in the $p$th cyclotomic field, if $p$ is a Fermat prime (e.g., $p=3,5,17,257$). Similar results for $p=2$ (the case of hyperelliptic curves) were obtained by the author in Math. Res. Lett. 7(2000), 123--132.

연구 동기 및 목표

• 복소수체 위에서 순환피복 $ y^p = f(x) $의 아벨-자기환의 자기환의 구조를 규명하는 것.
• $ \mathbf{Z}[\delta_p] $가 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $의 최대 가환 부분환인 조건을 설정하는 것. 여기서 $ \delta_p $는 $ y \mapsto \zeta_p y $에 의해 유도되는 자기환이다.
• $ p $가 페르마 소수일 경우, 자기환은 정확히 $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $임을 증명하고, 이러한 아벨-자기환의 자기곱에 대해 호지 및 테이트 추측을 분석하는 것.
• 갈루아군의 대칭성과 $ p $-진 테이트 모듈러스가 자기환 대수에 미치는 제약 조건을 탐색하는 것.

제안 방법

• $ \mathrm{Gal}(K) $의 작용을 분석하기 위해 갈루아 이론적 기법을 사용하여 아벨-자기환의 $ p $- torsion과 $ p $-진 테이트 모듈러스에 영향을 미치는 바를 연구한다.
• Nakayama의 보조정리를 적용하여 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ 내에서 $ \delta_p $의 중심화환의 구조를 연구하며, 특히 $ \mathbf{Z}_p[\delta_p] $ 내의 통일자 $ \eta $를 모듈로로 줄여 분석한다.
• $ \eta $를 모듈로로 줄여 $ \mathrm{Gal}(K) $-모듈 $ J^{(f,p)}(\eta) $를 분석하며, 주어진 갈루아군 조건 하에서 이 모듈러스가 매우 단순함을 보인다.
• 중심단순대수 이론과 로사티의 대칭을 활용하여, $ \mathbf{Q}(\delta_p) $의 중심화환이 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 자체를 초월할 수 없음을 배제한다.
• 특수한 경우 $ p = 3 $에 대해 Ribet의 정리에 기반하여, 승수 $ n_\sigma $와 $ n_{\bar{\sigma}} $가 서로소일 경우, 자기곱에 대해 호지 추측이 성립함을 보인다.
• $ \mathrm{End}^0(J^{(f,p)}) $가 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 위의 중심단순대수임을 증명하고, 이것이 성립하려면 중심화환이 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $여야 한다는 모순을 이끌어내어 주요 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환피복 $ y^p = f(x) $에 대해 $ \mathbf{Z}[\delta_p] $가 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $의 최대 가환 부분환인가? 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떤 조건에서 이러한 피복의 아벨-자기환의 자기환은 정확히 $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $인가?
• RQ3 적절한 갈루아군 및 차수 조건 하에서 $ p = 3 $일 때, 아벨-자기환의 자기곱에 대해 호지 추측이 성립하는가?
• RQ4 만약 $ K $가 $ \sqrt{-3} $를 포함한다면, 이러한 아벨-자기환의 자기곱에 대해 테이트 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ5 $ p $-진 테이트 모듈러스와 $ J^{(f,p)}(\eta) $에서의 갈루아 작용이 자기환 대수에 미치는 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $ f(x) \in K[x] $가 기약다항식이며 차수 $ n \geq 5 $이고 갈루아군이 $ \mathbf{S}_n $ 또는 $ \mathbf{A}_n $일 경우, $ \mathbf{Z}[\delta_p] $는 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $의 최대 가환 부분환이다.
• 만약 $ p $가 페르마 소수일 경우 (예: $ p = 3, 5, 17, 257 $), $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) = \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $이므로, 자기환은 순환체의 정수환 정확히 일치한다.
• $ p = 3 $이고 $ 3 \nmid n-1 $일 경우, $ J^{(f,3)} $의 각 자기곱에서 모든 호지 클래스는 약수 클래스의 곱의 선형결합으로 표현되므로, 모든 이러한 자기곱에 대해 호지 추측이 성립한다.
• $ K $가 $ \sqrt{-3} $를 포함하는 수체일 경우, $ J^{(f,3)} $의 각 자기곱에서 모든 테이트 클래스 역시 약수 클래스의 곱의 선형결합으로 표현되므로, 테이트 추측이 성립한다.
• $ \mathrm{End}^0(J^{(f,p)}) $는 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 위의 중심단순대수이며, 이 구조는 중심화환이 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $여야만 가능하므로 주요 결과로 이어진다.
• $ \delta_3^* $가 $ H^{1,0}(J^{(f,3)}) $에 작용할 때의 고유값의 승수 $ n_\sigma $와 $ n_{\bar{\sigma}} $는 $ 3 \nmid n-1 $일 경우 서로소이며, 이는 Ribet의 정리에 의해 호지 추측이 성립함을 보장한다.