[논문 리뷰] Dark Energy and the Schwarzian Derivative

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 21.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 28인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 시간 재매개변수화 또는 Weyl 등각 스케일링 하에서 암흑 에너지 밀도—특히 도시계수—가 슈바르츠ian 도함수 항을 더함으로써 변환되며, 이는 SL(2,R)에 속하는 변환을 제외한 일반적인 경우에 해당한다. 일정한 암흑 에너지와 시간에 따라 변하는 암흑 에너지 사이의 등가성을 수립하고, 일반 상대성 이론에서 등각 프레임 변환 하에서 암흑 에너지가 어떻게 변화하는지를 지배하는 것은 슈바르츠ian 텐서임을 보여준다. 특히 프리드만-레마트르 우주론에서 이와 같은 현상이 나타난다.

ABSTRACT

Theories with a time dependent Newton's constant admit two natural measures of time : atomic and astronomical. Temporal parametrisation by SL(2, R) transformations gives rise to an equivalence between theories with different time dependence's, including the special Case of no time dependence, a fact noticed by Mestschersky, Vinti and by Lynden-Bell. I point out that theories with time dependent dark energy densities admit three natural measures of time : atomic and astronomical and de Sitter related by temporal re-parametrizations and I extend Mestschersky-Vinti-Lynden-Bell's result to cover this more general situation. I find a consequent equivalence between theories in which the density of dark energy is constant in time and in which it varies with time. Strikingly a time dependent cosmological constant changes by the addition of a Schwarzian derivative term unless the temporal reparameterization belongs to SL(2, R). In General Relativity one may introduce a Schwarzian tensor to investigate how the notion of dark energy changes under changes of conformal frame. The general theory is illustrated in the case of Friedmann-Lemaitre metrics.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 뉴턴 상수와 암흑 에너지를 가진 이론에서 시간 재매개변수화의 역할을 탐구한다.
• 원자적, 천체적, de Sitter 시간 척도 간의 Mestschersky-Vinti-Lynden-Bell 등가성을 암흑 에너지 역학까지 확장한다.
• 특히 시간에 따라 변하는 암흑 에너지의 맥락에서, 시공간의 Weyl 등각 스케일링 하에서 도시계수가 어떻게 변하는지를 조사한다.
• 프리드만-레마트르 메트릭에서 우주론적 스칼라(헤르츠, 데세레이션, 제크)와 슈바르츠ian 도함수 사이의 연결을 수립한다.
• 3+1 차원 등각 장 이론과 암흑 에너지 사이의 깊은 연관성을 슈바르츠ian 구조를 통해 제안한다.

제안 방법

• SL(2,R) 변환을 통한 시간 재매개변수화를 사용하여, 우주론 모델에서 원자적, 천체적, de Sitter 시간 척도 간의 관계를 수립한다.
• 시간 재매개변수화 하에서 효과적인 암흑 에너지 밀도의 변화를 기술하기 위해 슈바르츠ian 도함수를 적용하며, 특히 도시계수가 불변이 아닌 경우에 초점을 맞춘다.
• 일반 상대성 이론에 슈바르츠ian 텐서를 도입하여, 메트릭의 Weyl 등각 스케일링 하에서 도시계수의 변환을 기술한다.
• 등각 변환 하에서 프리드만-레마트르-로버트슨-워커 메트릭을 분석하고, 수정된 프리드만 및 레이차오다후리 방정식을 유도한다.
• 슈바르츠ian 도함수 {a,t}와 우주론적 스칼라—헤르츠 파라미터 H, 데세레이션 파라미터 q, 제크 j—를 연결하는 항등식을 유도한다.
• 등각 변환 gμν → g̃μν = Ω²(φ)gμν를 사용하여 조던, 아이너스타인, de Sitter 등각 프레임 간의 전환을 수행하며, G와 Λ가 어떻게 변하는지 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원자적, 천체적, de Sitter 시간을 연결하는 일반적인 시간 재매개변수화 하에서 효과적인 암흑 에너지 밀도는 어떻게 변하는가?
• RQ2 시간 좌표가 재정의될 때 도시계수가 어떻게 변하는지에 있어 슈바르츠ian 도함수의 역할은 무엇인가?
• RQ3 시공간 메트릭의 Weyl 등각 스케일링 하에서 도시계수가 어떻게 변하며, 이 맥락에서 슈바르츠ian 텐서의 의미는 무엇인가?
• RQ4 일정한 암흑 에너지 밀도와 시간에 따라 변하는 암흑 에너지 밀도 모델 간에 기하학적 또는 역학적 등가성이 존재하는가?
• RQ5 슈바르츠ian 도함수는 ΛCDM 모델에서 관측 가능한 우주론적 스칼라인 제크와 데세레이션과 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 시간 재매개변수화 하에서 도시계수는 슈바르츠ian 도함수 항을 더함으로써 변환되며, 이는 SL(2,R)에 속하는 변환인 경우에만 도시계수의 형태가 유지된다.
• 적절한 시간 재매개변수화 하에서 시간에 따라 변하는 암흑 에너지 밀도는 일정한 암흑 에너지 밀도와 물리적으로 등가적이며, 이는 변하는 암흑 에너지 모델과 일정한 암흑 에너지 모델 간의 새로운 dualities를 수립한다.
• 슈바르츠ian 도함수 {a,t}는 우주론적 스칼라와 다음 항등식을 통해 연결된다: {a,t} = H²(j - ³⁄₂q²), 이는 기하학적 시간 진동과 관측 가능한 운동학적 양들 간의 연결을 보여준다.
• 등각 스케일링 gμν → Ω²gμν 하에서 효과적인 암흑 에너지 밀도는 슈바르츠ian 텐서를 포함한 항을 통해 변환되며, 이 텐서는 등각 프레임 간 도시계수의 변화를 지배한다.
• de Sitter 등각 프레임에서는 도시계수가 일정하게 유지되지만, 등각 인자 덕분에 암흑 에너지 밀도는 여전히 변할 수 있으며, 이는 SL(2,R)가 아닐 경우에 해당한다.
• 등각 스케일링 하에서 수정된 프리드만 방정식은 등각 인자 φ의 두 번째 도함수에 비례하는 항을 포함하며, 이는 효과적인 에너지 밀도가 시간 재정의의 곡률에 의존함을 보여준다.