[논문 리뷰] Data-Driven Approximation of Transfer Operators: Naturally Structured Dynamic Mode Decomposition

Bowen Huang, Umesh Vaidya|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 시간 시리즈 데이터로부터 유한 차원 근사화를 수행할 때 쿠페르만 및 페론-프로베니우스(P-F) 전이 연산자의 양성성과 마르코프 성질을 유지하는 데이터 기반 알고리즘인 자연스러운 구조를 가진 동적 모드 분해(NSDMD)를 제안한다. 유한 차원 근사화를 볼록이고 제약 조건이 있는 최소 제곱 최적화 문제로 공식화함으로써, NSDMD는 안정적이고 물리적으로 의미 있는 고유값과 고유함수를 보장하며, 기존의 표준 DMD 및 EDMD에 비해 정적 및 일시적 동역학 예측의 정확도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a new algorithm for the finite dimensional approximation of the linear transfer Koopman and Perron-Frobenius operator from time series data. We argue that existing approach for the finite dimensional approximation of these transfer operators such as Dynamic Mode Decomposition (DMD) and Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) do not capture two important properties of these operators, namely positivity and Markov property. The algorithm we propose in this paper preserve these two properties. We call the proposed algorithm as naturally structured DMD since it retains the inherent properties of these operators. Naturally structured DMD algorithm leads to a better approximation of the steady-state dynamics of the system regarding computing Koopman and Perron- Frobenius operator eigenfunctions and eigenvalues. However preserving positivity properties is critical for capturing the real transient dynamics of the system. This positivity of the transfer operators and it's finite dimensional approximation also has an important implication on the application of the transfer operator methods for controller and estimator design for nonlinear systems from time series data.

연구 동기 및 목표

• 기존 DMD 및 EDMD 방법이 전이 연산자를 근사할 때 구조 보존이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 쿠페르만 및 P-F 연산자의 유한 차원 근사가 양성성과 마르코프 성질이라는 핵심 성질을 유지하도록 보장하기 위해.
• 비선형 시스템에서 정적 및 일시적 동역학의 고유함수와 고유값 추정 정확도를 향상시키기 위해.
• 최대 고유값이 정확히 1이 되는 안정적이고 구조를 보존하는 쿠페르만 행렬 근사화를 보장하기 위해.
• 데이터 기반 전이 연산자 방법을 사용하여 비선형 시스템의 제어기 및 추정기 설계를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 양성성과 마르코프 제약 조건을 가진 볼록 최소 제곱 최적화 문제로 유한 차원 쿠페르만 연산자 근사화를 공식화하기 위해.
• 쿠페르만 행렬의 행 합이 1이 되도록 제약 조건을 걸어 마르코프 성질을 구현함으로써 최대 고유값이 정확히 1이 되도록 보장하기 위해.
• 상태공간 데이터를 관측자 공간으로 매핑하기 위해 기저 함수의 사전(예: 반경 기반 함수)을 사용하기 위해.
• 쿠페르만 및 P-F 연산자 간의 쌍대 관계를 활용하여 쿠페르만 행렬에서 P-F 연산자 근사화를 유도하기 위해.
• 시간 시리즈 데이터에서 반경 기반 함수의 중심을 선택하기 위해 k-means 클러스터링을 적용하여 효율적인 근사화를 위해.
• 전이 연산자 및 그 유한 차원 근사에서의 양성성을 유지함으로써 안정성과 물리적 일관성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 기반 전이 연산자 근사화 방법이 쿠페르만 및 P-F 연산자에 내재된 양성성과 마르코프 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ2 유한 차원 근사에서 구조를 강제로 적용하면 정적 동역학에 대한 고유함수와 고유값 추정 정확도가 어떻게 향상되는가?
• RQ3 구조 보존이 쿠페르만 행렬 근사의 일시적 거동과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 방법을 통해 데이터에서 라플라스 측도 계산을 통해 안정성 증명을 제공할 수 있는가?
• RQ5 NSDMD는 표준 DMD 및 EDMD에 비해 불변 측도와 애트랙터 동역학을 얼마나 잘 포착하는가?

주요 결과

• NSDMD는 쿠페르만 행렬의 최대 고유값이 정확히 1이 되도록 보장하여 안정성을 확보한다. 이는 EDMD가 불안정한 행렬을 생성할 수 있음(예: 반도르 폴 오실레이터에서 λ = 1.001)과는 대조된다.
• NSDMD를 사용한 유한 차원 P-F 연산자 근사화는 고유값 1에 해당하는 고유함수를 정확히 포착한다. 이는 시스템의 불변 측도를 의미하며, 헨온 맵 및 로렌츠 애트랙터 사례에서 이를 입증하였다.
• 더프 맵의 경우, NSDMD로 계산된 첫 번째 두 개의 주요 쿠페르만 고유함수는 두 평형점의 영역을 정확히 반영한다.
• 라플라스 측도는 NSDMD를 통해 계산된 안정성 증명으로서, 상태공간의 서로 다른 영역에서 궤도가 머무는 상대적 시간을 드러낸다. 반도르 폴 오실레이터 사례에서 이를 확인하였다.
• 로렌츠 애트랙터의 경우, NSDMD는 고유값 1과 0.9762에 해당하는 주요 P-F 고유함수를 성공적으로 포착하여 혼돈 애트랙터의 구조를 반영하였다.
• 특히 스펙트럼 성질과 일시적 거동을 잘 유지함으로써, 표준 DMD 및 EDMD에 비해 정적 동역학 근사에서 더 나은 성능을 제공한다.