[논문 리뷰] Data-driven MPC with stability guarantees using extended dynamic mode decomposition

Lea Bold, Lars Grüne외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 01.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 코프만 프레임워크 내에서 확장된 동적 모드 분해(eDMD)를 사용하여 데이터 기반 모델 예측 제어(MPC)의 실용적 점근적 안정성을 확립한다. 시스템이 평형점에 가까워질수록 사라지는 상태에 의존하는 오차 한계를 유도하고, 원래 시스템의 비용 제어 가능성 조건을 활용하여, eDMD 기반 MPC가 원점의 실용적 점근적 안정성을 보장함을 증명한다. 비선형 시스템, 예를 들어 반데르폴 진동자와 단순 진자에서의 시뮬레이션을 통해 검증된다.

ABSTRACT

For nonlinear (control) systems, extended dynamic mode decomposition (EDMD) is a popular method to obtain data-driven surrogate models. Its theoretical foundation is the Koopman framework, in which one propagates observable functions of the state to obtain a linear representation in an infinite-dimensional space. In this work, we prove practical asymptotic stability of a (controlled) equilibrium for EDMD-based model predictive control, in which the optimization step is conducted using the data-based surrogate model. To this end, we derive novel bounds on the estimation error that are proportional to the norm of state and control. This enables us to show that, if the underlying system is cost controllable, this stabilizablility property is preserved. We conduct numerical simulations illustrating the proven practical asymptotic stability.

연구 동기 및 목표

• 데이터 기반 MPC에서 eDMD 기반 대체 모델을 사용하여 실용적 점근적 안정성에 대한 이론적 보장을 확립하는 것.
• 기존의 eDMD-MPC 접근 방식에서 올리프트된 공간 최적화와 원래 상태공간 역학 간의 일致성 부족 문제를 다루는 것.
• eDMD 대체 모델의 오차가 시스템 상태가 평형점에 가까워질수록 감소함을 보여주는 것.
• 이차 단계 비용에 대해 원래 시스템의 비용 제어 가능성 조건이 데이터 기반 대체 모델로도 유지됨을 보여주는 것.
• 비선형 제어-아핀 시스템에서의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하는 것.

제안 방법

• 비선형 제어-아핀 시스템을 무한차원 선형 공간으로 올리기 위해 코프만 프레임워크를 활용하여 선형 근사화를 가능하게 한다.
• 유한한 관측 함수 사전을 사용하여 코프만 연산자를 근사하기 위해 이중선형(eDMD) 기반 대체 모델을 적용한다.
• 올리프트된 상태가 원점에 가까워질수록 수렴하는 상태에 의존하는 오차 한계를 도출하여, 균일한 오차 한계를 대체한다.
• 원래 시스템의 비용 제어 가능성 조건에서 유도된 완화된 라플라스 부등식 조건을 적용하여 실용적 점근적 안정성을 확립한다.
• 훈련 데이터를 생성하고 피드백 루프 동역학을 시뮬레이션하기 위해 룬게-쿠타 적분 기반 수치 근사 프레임워크를 활용한다.
• eDMD 대체 모델을 사용하여 표준 MPC 최적화를 구현하고, 상태 및 제어 변수에 대한 제약 조건을 설정하며, 명시적 MPC와 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대체 모델 오차가 평형점에서의 거리에 따라 달라질 경우, eDMD 기반 MPC에서 실용적 점근적 안정성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 비선형 원래 시스템의 비용 제어 가능성 조건이 이차 단계 비용에 대해 eDMD 기반 대체 모델로도 유지되는가?
• RQ3 eDMD 대체 모델의 근사 오차는 피드백 루프 시스템의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 균일한 오차 한계(상태에 독립적)가 필요 없이도 제안된 오차 한계 프레임워크가 안정성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 eDMD 대체 모델의 품질이 피드백 루프 MPC 시뮬레이션에서 달성 가능한 수렴 정확도에 얼마나 영향을 미치는가?

주요 결과

• eDMD 대체 모델의 오차 한계는 올리프트된 상태가 원점에 가까워질수록 사라지며, 이는 평형점 근처에서 더 엄밀한 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 반데르폴 진동자와 단순 진자 모두에서 eDMD 기반 MPC는 실용적 점근적 안정성을 달성하며, 수렴이 약 $10^{-8}$ 근처에서 정체되는 것으로 나타나, 근사 품질에 의해 결정되는 한계를 보여준다.
• 최적의 가치 함수 $V_N^{ ext{eDMD}}$는 원점 주변 이웃 영역 외부에서만 감소함을 확인하여, 전역 점근적 안정성이 아니라 실용적 점근적 안정성을 확인한다.
• 명시적 MPC는 가치 함수가 엄밀하게 감소하는 반면, eDMD 기반 MPC는 이론적 예측과 일치하는 실용적 점근적 안정성만을 보인다.
• 이차 단계 비용 조건 하에서 원래 시스템의 비용 제어 가능성 조건이 eDMD 대체 모델로도 유지되어 안정성 보장을 가능하게 한다.
• 예측 수평 $N$을 늘일수록 수렴 속도가 향상되지만, 최종 수렴 노름은 감소하지 않으며, 이는 근사 오차가 수렴 성능의 한계 요인임을 시사한다.