[논문 리뷰] Decay and vanishing of some axially symmetric D-solutions of the Navier-Stokes equations

Bryan Carrillo, Xinghong Pan외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 23.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 24인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 일반 도메인과 R³에서 축대칭 D-해에 대한 날카운 a priori 붕괴 추정을 수립하며, 속도와 코리올리의 붕괴 속도를 향상시킨다. uθ와 uz에 대해 평균이 0인 조건 하에서 z-주기적 D-해에 대해 퇴적 결과를 증명하고, 추가적인 적분 또는 붕괴 조건 없이 슬래브 R²×I에서 축대칭 D-해에 대한 최초의 퇴적 정리를 도출한다. 이는 Brezis-Gallouet 부등식, 그린 함수의 경계, 그리고 리우빌 유형의 추론을 사용한다.

ABSTRACT

We study axially symmetric D-solutions of the 3 dimensional Navier-Stokes equations. The first result is an a priori decay estimate of the velocity for general domains. The second is an a priori decay estimate of the vorticity in $\bR^3$, which improves the corresponding results in the literature. In addition, we prove a similar decay of full 3d solutions except for a small set of angles. Next we turn to D-solutions which are periodic in the third variable and prove vanishing result under a reasonable condition. As a corollary we prove that axially symmetric D-solutions in the slab $\bR^2 imes I$ with suitable boundary condition is $0$. Here $I$ is any finite interval. To the best of our knowledge, this seems to be the first vanishing result on a 3 dimensional D-solution without extra integral or decay or smallness assumption on the solution. The tools used include Brezis-Gallouet inequality, dimension reduction, scaling, Green's function bound and Liouville theorems for Navier-Stokes equations.

연구 동기 및 목표

• 일반 도메인에서 축대칭 D-해의 속도와 코리올리에 대한 a priori 붕괴 추정을 수립하기 위해.
• 정밀 분석을 통해 R³에서 기존의 붕괴 속도를 향상시키기 위해.
• uθ와 uz에 대해 평균이 0인 조건 하에서 z-주기적 D-해에 대해 퇴적 결과를 증명하기 위해.
• 소수성 또는 추가 붕괴 조건 없이, 적절한 경계 조건 하에서 슬래브 R²×I에서 축대칭 D-해로 이 퇴적 결과를 확장하기 위해.
• 해에 대한 Lp 또는 붕괴 조건을 추가로 가정하지 않고, 유한한 딜리클레 에너지만으로 D-해의 퇴적을 증명하는 최초의 정리 제공하기 위해.

제안 방법

• 점별 노름을 딜리클레 에너지와 로그 항으로 제어하기 위해 Brezis-Gallouet 부등식을 사용한다.
• 스케일링과 차원 감소 기법을 적용하여 3차원 축대칭 문제를 2차원 유사한 구조로 연결한다.
• R²×S¹ 및 R³에서 그린 함수 경계를 적용하여 속도와 코리올리에 대한 붕괴 추정을 유도한다.
• 적분 by parts와 컷오프 함수를 사용하여 이중 원판에서 속도와 코리올리의 기울기를 추정한다.
• 리우빌 유형 정리와 ∇w의 붕괴를 적용하여 u의 1/r보다 빠른 붕괴를 유도하고, 이를 통해 퇴적을 유도한다.
• 해를 R²×[0,π]에서 R²×[−π,π]로 짝수/홀수 반사에 의해 확장하여 주기성과 평균이 0인 조건을 만족시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 도메인과 R³에서 축대칭 D-해의 속도와 코리올리에 대한 최적의 a priori 붕괴 속도는 무엇인가?
• RQ2 R³에서 기존의 로그 및 거듭제곱 법칙 붕괴 경계를 초월하여 코리올리의 붕괴를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 소수성 또는 적분 조건 없이, 어떤 조건에서 z-주기적 축대칭 D-해가 식별적으로 0이 되는가?
• RQ4 이 퇴적 결과를 물리적으로 관련된 경계 조건을 갖는 슬래브 R²×I로 확장할 수 있는가?
• RQ5 해에 대한 Lp 또는 붕괴 조건을 가정하지 않고, 오직 유한한 딜리클레 에너지만으로 D-해의 퇴적을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 로그 발산하는 딜리클레 에너지를 갖는 R³에서의 축대칭 D-해에 대해, 속도는 r ≥ e일 때 |u(x)| ≤ C₀(ln r)¹ᐟ² / r¹ᐟ²로 붕괴된다.
• 코리올리 성분 wθ는 |wθ(x)| ≤ C₀(ln r)³ᐟ⁴ / r⁵ᐟ⁴로 붕괴되며, |wr| + |wz| ≤ C(ln r)¹¹ᐟ⁸ / r⁹ᐟ⁸로 붕괴된다.
• R²×S¹에서 ∫uθdz = ∫uzdz = 0 조건 하에 z-주기적 해 u는 식별적으로 0이다.
• R²×[0,π]에서 uθ, uz 및 ∂zur이 z=0,π에서 0이 되는 축대칭 D-해에 대해, 해 u는 식별적으로 0이다.
• |u|의 붕괴 속도는 임의의 δ>0에 대해 r⁻³ᐟ²+δ보다 빠르며, 이는 알려진 리우빌 유형 정리에 의해 u≡0를 유도한다.
• 이 방법은 콜모고로프 유형 흐름과 같이 무한한 딜리클레 에너지를 갖는 해에도 적용 가능하여, 전통적인 L² 프레임워크를 초월한다.