[논문 리뷰] Decay properties of the Hardy-Littlewood-Sobolev systems of the Lane-Emden type

Yutian Lei, Congming Li|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 22.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 R^n에서 하디-리틀우드-소볼레프(HLS) 및 레인-에멘형 시스템의 양해를 위한 붕괴 성질을 조사한다. 날카로운 기준을 설정한다: 적분 가능한 해는 급속하게 붕괴하고, 비적분 가능한 유계 해는 느리게 붕괴되며, 정확한 붕괴 속도는 시스템의 매개변수에 의해 결정된다. 핵심 기여는 적분 가능성에 기반한 붕괴 행동의 분류로, 변분 방법이 실패하는 초임계 영역에서의 점근적 행동을 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the asymptotic behavior of positive solutions of the nonlinear differential systems of Lane-Emden type $2k$-order equations $$\{{array}{l} (-Δ)^k u=v^q,u>0 \quad in ~R^n, (-Δ)^k v=u^p,v>0 \quad in ~R^n, {array}. $$ and the Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) type system of nonlinear equations $$ \{{array}{l} u(x)=\displaystyle\int_{R^n}\frac{v^q(y)dy}{|x-y|^{n-α}},u>0 \quad in ~R^n, v(x)=\displaystyle\int_{R^n}\frac{u^p(y)dy}{|x-y|^{n-α}},u>0 \quad in ~R^n. {array}. $$ Such an integral system is related to the study the extremal functions of the HLS inequality. We point out that the bounded solutions $u,v$ converge to zero either with the fast decay rates or with the slow decay rates when $|x| o \infty$ under some assumptions. In addition, we also find a criterion to distinguish the fast and the slow decay rates: if $u,v$ are the integrable solutions (i.e. $(u,v) \in L^{r_0}(R^n) imes L^{s_0}(R^n)$), then they decay fast; if the bounded solutions $u,v$ are not the integrable solutions (i.e. $(u,v) ot\in L^{r_0}(R^n) imes L^{s_0}(R^n)$), then they decay almost slowly. Here, for the HLS type system, $r_0=\frac{n(pq-1)}{α(q+1)}$, $s_0=\frac{n(pq-1)}{α(p+1)}$; and for the Lane-Emden type system, $r_0,s_0$ are still the forms above where $α$ is replaced by $2k$.

연구 동기 및 목표

• 비선형 적분 및 PDE 시스템인 레인-에멘형 및 HLS형의 양해의 점근적 붕괴 행동을 분석하기 위해.
• 특히 변분 방법이 적용되지 않는 초임계 영역에서, 적분 가능성과 붕괴 속도에 따라 해를 분류하기 위해.
• 빠른 붕괴(적분 가능한 해)와 느린 붕괴(비적분 가능한 유계 해)를 구분하는 날카로운 기준을 수립하기 위해.
• 단일 레인-에멘 방정식에 대한 기존 붕괴 결과를 고차수 및 적분 방정식의 결합 시스템으로 확장하기 위해.
• 비하위임계 조건 하에서 붕괴 속도가 양해 존재 이론에서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• HLS형 시스템: u(x) = ∫ v^q(y) / |x−y|^{n−α} dy, v(x) = ∫ u^p(y) / |x−y|^{n−α} dy의 해의 점근적 행동을 분석한다.
• 해를 분류하기 위해 적분 가능성 임계값 r₀ = n(pq−1)/(α(q+1)), s₀ = n(pq−1)/(α(p+1))을 도입한다.
• 반복적 적분 추정과 비교 논증을 사용하여 붕괴 속도의 하한 및 상한을 유도한다.
• HLS 부등식과 스케일링 논증을 적용하여 붕괴 행동과 적분 가능성 및 에너지 조건을 연결한다.
• 붕괴 수열에 대한 귀납법과 모순을 사용하여 일관되지 않은 붕괴 속도를 배제한다.
• 적절한 조건 하에서 적분 가능한, 유한 에너지의, 빠르게 붕괴되는 유계 해가 서로 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HLS형 시스템의 양해가 |x| → ∞에서 급속하게 붕괴되는지, 아니면 느리게 붕괴되는지가 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ2 해 (u,v) ∈ L^{r₀} × L^{s₀}의 적분 가능성은 그 붕괴 속도와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 시스템 매개변수 p, q, α, n에 따라 유계 해의 붕괴 속도를 정확히 특징지을 수 있는가?
• RQ4 비판적 조건 1/(p+1) + 1/(q+1) = (n−α)/n이 붕괴와 존재를 결정하는 데 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 결합 시스템의 붕괴 성질은 단일 레인-에멘 방정식에서 알려진 결과를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 적분 가능한 해, 즉 (u,v) ∈ L^{r₀}(R^n) × L^{s₀}(R^n)인 경우, |x| → ∞에서 u(x) ≲ |x|^{-α(q+1)/(pq−1)}, v(x) ≲ |x|^{-α(p+1)/(pq−1)}의 속도로 급속하게 붕괴된다.
• 비적분 가능한 유계 해는 거의 느리게 붕괴되며, 정확히 비판적 지수와 일치하는 붕괴 속도를 가진다: u(x) ≲ |x|^{-α(q+1)/(pq−1)}, v(x) ≲ |x|^{-α(p+1)/(pq−1)}
• 비판적 조건 1/(p+1) + 1/(q+1) = (n−α)/n이 성립하는 것은 유한 에너지 해가 존재하는 것과 필요충분조건이며, 이 경우 유한 에너지 해는 적분 가능한 해와 동치이다.
• 주어진 가정 하에서 적분 가능한 해는 유한 에너지 해와 빠르게 붕괴되는 유계 해와 동치이다.
• 해가 비판적 속도보다 더 빨리 붕괴한다면, 비판적 조건이 성립해야 하며, 그 해는 유한 에너지 해이다.
• 논문은 비판적 속도보다 느리게 붕괴되는 해는 존재할 수 없으며, 비적분 가능한 해는 반드시 정확히 비판적 속도로 붕괴된다는 것을 증명한다.