[논문 리뷰] Deciding football sequences

Antal Iványi, J. E. Schoenfield|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 26.

Sports Analytics and Performance참고 문헌 58인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 주어진 음이 아닌 정수의 수열이 특정 결과(예: 0:3, 1:1, 3:0)만 허용되는 축구 리그에서의 최종 스코어로 가능한지 판단하기 위한 다항식 시간 근사 알고리즘과 정확한 지수 시간 알고리즘을 제시한다. 주요 기여는 불완전한 리그에 대한 일반화된 랑의 및 무운 유형 정리 기반의 필터링 및 재구성 기법을 사용하여 유효한 축구 스코어 수열을 특성화한 것이다.

ABSTRACT

An open problem posed by the first author is the complexity to decide whether a sequence of nonnegative integer numbers can be the final score of a football tournament. In this paper we propose polynomial time approximate and exponential time exact algorithms which solve the problem.

연구 동기 및 목표

• 주어진 정수 수열이 제한된 결과 유형(예: 0:3, 1:1, 3:0)을 가진 축구 리그의 최종 스코어로 가능한지 여부를 판단하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 축구 스코어 수열을 검증하기 위한 다항식 시간 근사 알고리즘과 정확한 지수 시간 알고리즘을 개발하기 위해.
• 클래식한 스코어 수열 정리(예: 랑의 정리 및 무운의 정리)를 금지된 경기 결과가 있는 불완전한 리그로 확장하기 위해.
• 조합적 필터링 및 재구성 기법을 사용하여 유효한 축구 스코어 수열의 구조와 조밀도를 특성화하기 위해.
• 팀 수가 증가함에 따라 정규 수열과 유효한 축구 수열 간 비율의 渐近적 행동을 분석하기 위해.

제안 방법

• 팀 수의 첫 $ k $개에 대한 손실 포인트 수를 제한하기 위해 점수 손실 함수 $ P_k $ 를 사용하는 필터링 메커니즘을 제안하여 리그 제약 조건과의 일관성을 확보한다.
• 일반화된 랑의 유형 부등식을 적용: $ \frac{ak(k-1)}{2} \leq \sum_{i=1}^k s_i \leq \frac{bn(n-1)}{2} - P_k - (n-k)s_k $, 이는 $ k \in [1,n] $ 에 대해 모두 성립해야 한다.
• 동적 프로그래밍과 축소된 수열의 사전 계산된 행렬을 사용하여 반복적으로 수열이 유효한 리그로 구현 가능한지 검사하는 재구성 알고리즘을 개발한다.
• 첫 번째 스코어 $ s_1 $ 에 기반한 재귀적 필터링 과정을 통해 생략된 팀의 결과가 승리(3점), 무승부(1점), 패배(0점)일 경우를 탐색한다.
• 행렬 $ \mathcal{M} $, $ P $, $ F $ 를 사용한 동적 프로그래밍을 통해 상태 추적을 수행하고, 축소된 수열을 사용하여 비유효 경로를 효율적으로 잘라내기 위해 사용한다.
• 비율 $ F(n)/R(n) $ 의 渐近적 성장을 분석하며, 여기서 $ F(n) $ 은 유효한 축구 수열의 수이고 $ R(n) $ 은 정규 수열의 수이며, 이 비율이 천천가서 증가함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 음이 아닌 정수 수열이 허용된 결과(예: 0:3, 1:1, 3:0)만 허용되는 축구 리그에서의 최종 스코어 수열로 실현 가능한가?
• RQ2 불완전한 $(a,b,n)$-리그에서 수열이 유효한 스코어 수열이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 조합적 및 그래프 이론적 제약 조건을 활용하여 유효한 축구 스코어 수열을 효율적으로 필터링하고 재구성할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 팀 수 $ n $ 이 증가함에 따라 정규 수열 중 유효한 축구 수열의 점근적 조밀도는 어떻게 되는가?
• RQ5 비율 $ F(n)/R(n) $ 이 $ n \to \infty $ 일 때 어떻게 행동하는가? 그리고 0으로 수렴하는가?

주요 결과

• 논문은 일반화된 랑의 유형 부등식과 점수 손실 함수 $ P_k $ 를 사용하여 불완전한 $(a,b,n)$-리그에서 수열이 유효한 스코어 수열이 되기 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다.
• 모든 가능한 구성에 대해 수열을 재귀적으로 축소하고 사전 계산된 행렬에 기반한 점수를 검증함으로써 정확한 지수 시간 재구성 알고리즘을 제안한다.
• 정규 수열의 수를 나타내는 $ R(n) $ 에 대해 비율 $ R(n+1)/R(n) $ 은 $ n \to \infty $ 일 때 渐近적으로 $ 256/27 \approx 9.481 $ 으로 수렴한다.
• 모든 정규 수열 중 유효한 축구 수열의 비율을 나타내는 비율 $ F(n)/R(n) $ 는 $ n $ 이 증가함에 따라 증가하며, 이는 유효한 수열이 상대적으로 점점 더 흔해지는 것을 시사하지만 수렴 속도는 매우 느리다.
• 비율 $ F(n+1)/F(n) $ 는 $ n \geq 5 $ 에서 비감소하며, 논문은 이 비율이 $ n \to \infty $ 일 때 1로 수렴한다고 추측하며, 이는 $ F(n) $ 이 지수적 성장을 보이지 않음을 시사한다.
• 표 18의 실험 데이터는 $ F(n)/R(n) $ 가 $ n=4 $ 에서 0.0559 에서 $ n=12 $ 에서 0.0938 으로 증가함을 보여주며, 이는 수렴 속도가 느리지만 상향 추세임을 지지한다.