[논문 리뷰] Decodable quantum LDPC codes beyond the √n distance barrier using high dimensional expanders.

Shai Evra, Tali Kaufman외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고차원 확산체, 특히 라마누잔 복합체를 활용하여 최소 거리가 √n를 초과하는 양자 LDPC 코드를 구성한다. 고전적 확산체 코드와 텐서 곱 기법을 결합함으로써, 3차원 복합체를 사용해 n^{1/2}log n의 최소 거리를 달성하였으며, √n 거리 장벽을 넘는 최초의 다항식 시간 디코딩 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

Constructing quantum LDPC codes with a minimum distance that grows faster than a square root of the length has been a major challenge of the field. With this challenge in mind, we investigate constructions that come from high-dimensional expanders, in particular Ramanujan complexes. These naturally give rise to very unbalanced quantum error correcting codes that have a large $X$-distance but a much smaller $Z$-distance. However, together with a classical expander LDPC code and a tensoring method that generalises a construction of Hastings and also the Tillich-Zemor construction of quantum codes, we obtain quantum LDPC codes whose minimum distance exceeds the square root of the code length and whose dimension comes close to a square root of the code length. When the ingredient is a 3-dimensional Ramanujan complex, we show that its 2-systole behaves like a square of the log of the complex size, which results in an overall quantum code of minimum distance $n^{1/2}\log n$, and sets a new record for quantum LDPC codes. When we use a 2-dimensional Ramanujan complex, or the 2-skeleton of a 3-dimensional Ramanujan complex, we obtain a quantum LDPC code of minimum distance $n^{1/2}\log^{1/2}n$. We then exploit the expansion properties of the complex to devise the first polynomial time algorithm that decodes above the square root barrier for quantum LDPC codes.

연구 동기 및 목표

• 양자 LDPC 코드 설계에서 오랫동안 지속된 √n 거리 장벽을 극복하기 위해.
• 최소 거리가 √n을 초과하는 속도로 증가하는 양자 LDPC 코드를 구성하는 방법을 개발하기 위해.
• √n 임계값을 초월하는 오류를 수정할 수 있는 다항식 시간 디코딩 알고리즘을 설계하기 위해.
• 특히 라마누잔 복합체를 포함한 고차원 확산체를 활용하여 개선된 코드 파라미터를 달성하기 위해.
• 3차원 라마누잔 복합체의 2-시스톨이 (log n)^2 비례로 증가함을 보여주어 향상된 코드 거리에 기여함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 최소 X-거리가 큰 극도로 비대칭인 양자 코드를 생성하기 위해 3차원 및 2차원 라마누잔 복합체를 기하학적 구조로 활용한다.
• 해스팅스와 틸리치-제모의 영감을 받은 텐서 곱 구조를 통해 복합체에서 유도된 양자 코드를 고전적 확산 LDPC 코드와 결합한다.
• 일반화된 텐서 곱 방법을 적용하여 X-거리와 Z-거리를 균형 잡아, 향상된 최소 거리를 가진 코드를 얻는다.
• 라마누잔 복합체의 스펙트럼적 성질과 확산 성질을 활용하여 강력한 오류 수정 성능을 보장한다.
• 복합체의 높은 고리 길이와 확산 성질을 이용해 √n 거리 한계를 초월하는 코드에 대한 다항식 시간 디코딩 알고리즘을 설계한다.
• 복합체의 2-시스톨을 분석하여 코드 거리에 대한 정량적 경계를 도출하며, 이가 (log n)^2 비례로 증가함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 확산체를 활용하여 최소 거리가 √n를 초과하는 양자 LDPC 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 라마누잔 복합체의 확산성과 기하학적 성질이 유도된 양자 코드의 거리와 차원에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 √n 거리 장벽을 초월하는 양자 LDPC 코드에 대해 다항식 시간 디코딩 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 2-시스톨이 라마누잔 복합체에서 유도된 양자 코드의 최소 거리를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 3차원 복합체와 2차원 복합체를 사용할 경우, 양자 코드의 차원이 코드 길이에 비해 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 3차원 라마누잔 복합체를 사용하여 최소 거리가 n^{1/2}log n인 양자 LDPC 코드를 구성함으로써 새로운 기록을 수립하였다.
• 2차원 라마누잔 복합체 또는 3차원 복합체의 2-스켈레톤의 경우 최소 거리가 n^{1/2}log^{1/2}n에 도달한다.
• 3차원 라마누잔 복합체의 2-시스톨은 (log n)^2 비례로 증가하며, 이는 향상된 거리 스케일링에 직접 기여한다.
• 제안된 텐서 곱 방법은 X-거리와 Z-거리를 성공적으로 균형 잡아, 고급 거리와 비트리버스한 차원을 동시에 확보한 코드를 가능하게 한다.
• 이 논문은 √n 거리 장벽을 초월하는 양자 LDPC 코드에 대해 최초로 다항식 시간 디코딩 알고리즘을 제시한다.
• 유도된 양자 코드는 차원이 √n에 수렴하여 비율과 거리의 상호 보완성 측면에서 거의 최적임을 보여준다.