[논문 리뷰] Decomposing a graph into expanding subgraphs

Guy Moshkovitz, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 04.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 31인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 특히 확산 분해와 정점 분리자에 관련된 잘 알려진 그래프 분해 결과들이 정량적 한계 측면에서 본질적으로 최적임을 보여준다. 초입자 하이퍼큐브의 무작위 부분그래프를 구성하고, 이를 메트릭 임bedding 기법을 통해 분석함으로써, 현재 결과를 초월해 확산 보장을 향상시키거나 간선/정점 분리자 한계를 향상시키는 것은 심지어 광범위한 간선 제거나 완화된 제약 조건 하에서도 불가능하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

A paradigm that was successfully applied in the study of both pure and algorithmic problems in graph theory can be colloquially summarized as stating that any graph is close to being the disjoint union of expanders. Our goal in this paper is to show that in several of the instantiations of the above approach, the quantitative bounds that were obtained are essentially best possible. Two examples of our results are the following:• Motivated by the Unique Games Conjecture, Trevisan [FOCS '05] and Arora, Barak and Steurer [FOCS '10] showed that given a graph G, one can remove only 1% of G's edges and thus obtain a graph in which each connected component has good expansion properties. We show that in both of these decomposition results, the expansion properties they guarantee are (essentially) best possible even when one is allowed to remove 99% of G's edges. In particular, our results imply that the eigenspace enumeration approach of Arora-Barak-Steurer cannot give (even quasi-) polynomial time algorithms for unique games.• A classical result of Lipton, Rose and Tarjan from 1979 states that if F is a hereditary family of graphs and every graph in F has a vertex separator of size n/(log n)1+o(1), then every graph in F has O(n) edges. We construct a hereditary family of graphs with vertex separators of size n/(log n)1-o(1) such that not all graphs in the family have O(n) edges.The above results are obtained as corollaries of a new family of graphs, which we construct by picking random subgraphs of the hypercube, and analyze using (simple) arguments from the theory of metric embedding.

연구 동기 및 목표

• 기존의 확산 그래프로의 분해 결과가 정량적으로 최적인지 여부를 규명하는 것.
• 연결된 성분에서 양호한 확산을 달성하기 위해 간선 제거의 한계를 조사하는 것.
• 유전적 그래프 가족에서 정점 분리자 하한의 날카로움을 검토하는 것.
• 유일한 게임에 대한 고유 공간 열거 방법의 향상 가능성을 현재의 하한을 초월해 평가하는 것.
• 작은 분리자가 존재함에도 불구하고 간선 밀도가 열등한 유전적 그래프 가족을 구성하는 것.

제안 방법

• 극한 예시로 사용하기 위해 하이퍼큐브의 무작위 부분그래프를 구성하는 것.
• 메트릭 임베딩 이론의 도구를 사용하여 왜곡과 확산 성질을 분석하는 것.
• 확산 및 분리자 크기의 하한을 확립하기 위해 확률적 방법을 적용하는 것.
• 구성된 그래프의 스펙트럼 성질을 분석하여 그들의 확산 행동을 평가하는 것.
• 특정 그래프에서는 간선의 최대 99%를 제거한 후에도 확산이 크게 향상되지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 하이퍼큐브의 구조를 이용하여 분리자 크기는 제어되지만 간선 수는 초선형인 그래프 가족을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 분해 결과에서 1% 이내의 간선 제거로 양호한 확산을 달성할 수 있는지, 이를 초월해 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 유일한 게임에 대한 고유 공간 열거 접근법이 현재의 하한을 초월해 다항식 시간 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ3 작은 분리자가 있는 유전적 가족에서의 간선 밀도에 대한 고전적 하한이 날카로운가?
• RQ4 유전적 그래프 가족이 비선형 분리자를 가질 수는 있지만, 초선형 간선 수를 가진 그래프를 포함할 수 있는가?
• RQ5 간선 제거 제약 조건 하에서 확산 부분그래프로의 그래프 분해의 정량적 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 연결 성분에서 양호한 확산을 달성하기 위해 1% 이내의 간선 제거로도 결과는 본질적으로 최적이며, 심지어 99%의 간선 제거를 허용하더라도 마찬가지다.
• 아로라-바락-스타우어의 고유 공간 열거 방법이 보장하는 확산 성질은 크게 향상될 수 없으며, 이는 고유 게임에 대해 (심지어 준-)다항식 시간 알고리즘의 가능성까지 배제한다.
• 정점 분리자가 크기가 n/(log n)^{1-o(1)}인 유전적 그래프 가정이 존재하지만, 이 가정은 ω(n)개의 간선을 포함하고 있어 고전적 기대와 모순된다.
• 하이퍼큐브의 무작위 부분그래프를 구성함으로써, 확산 및 분리자 하한에 대해 극한이 되는 그래프를 도출할 수 있다.
• 메트릭 임베딩 추론은 확산 및 분리자 성능에 대한 날카로운 정량 하한을 유도하는 단순하면서도 강력한 프레임워크를 제공한다.
• 결과는 기존의 분해 기법이 알고리즘적 비효율성 때문이 아니라 본질적인 그래프 이론적 제약에 의해 본질적으로 제한됨을 보여준다.