[논문 리뷰] Decomposition of Reachable Sets and Tubes for a Class of Nonlinear Systems

Mo Chen, Sylvia Herbert외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 01.

Robotic Path Planning Algorithms참고 문헌 46인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 상태, 제어, 외란이 결합된 비선형 제어 시스템의 후행 가능 집합(BRS)과 후행 가능 튜브(BRT)를 계산하기 위한 분해 방법을 제안한다. 시스템을 저차원 부분시스템으로 분해하고 추가적인 근사 오차 없이 전체 BRS/BRT를 재구성함으로써, 해밀턴-자비(Hamilton-Jacobi) 공식을 사용한 효율적이고 고차원의 영역 분석이 가능해지며, 이는 6차원 및 10차원 큼비터 모델에서 수개의 주기적 속도 향상을 보여주었다.

ABSTRACT

Reachability analysis provides formal guarantees for performance and safety properties of nonlinear control systems. Here, one aims to compute the backward reachable set (BRS) or tube (BRT) -- the set of states from which the system can be driven into a target set at a particular time or within a time interval, respectively. The computational complexity of current approaches scales exponentially, making application to high-dimensional systems intractable. We propose a technique that decomposes the dynamics of a general class of nonlinear systems into subsystems which may be coupled through common states, controls, and disturbances. Despite this coupling, BRSs and BRTs can be computed efficiently using our technique without incurring additional approximation errors and without the need for linearizing dynamics or approximating sets as polytopes. Computations of BRSs and BRTs now become orders of magnitude faster, and for the first time BRSs and BRTs for many high-dimensional nonlinear control systems can be computed using the Hamilton-Jacobi (HJ) formulation. In situations involving bounded adversarial disturbances, our proposed method can obtain slightly conservative results. We demonstrate our theory by numerically computing BRSs and BRTs using the HJ formulation for several systems, including the 6D Acrobatic Quadrotor and the 10D Near-Hover Quadrotor.

연구 동기 및 목표

• 고차원, 비선형, 안전 중심 시스템에 대한 영역 분석의 계산 비가용성 문제를 해결하기 위해.
• 선형화나 다각형 근사 없이도 정확한 후행 가능 집합(BRS)과 튜브(BRT) 계산을 가능하게 하기 위해.
• 결합된 비선형 시스템을 공유 상태, 제어, 외란을 통해 저차원 부분시스템으로 분해하면서도 결합 관계를 유지하기 위해.
• 부분시스템 계산 결과로부터 전체 차원의 BRS나 BRT를 정확하거나 보수적으로 재구성할 수 있는 이론적 조건을 제공하기 위해.
• 6차원 애슬레틱 및 10차원 네어휴 큼비터와 같은 고차원 시스템에서 이 방법의 확장성과 정확성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시스템은 공유 상태, 제어, 외란을 통해 연결된 부분시스템으로 분해되어, 저차원 BRS와 BRT를 독립적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 해밀턴-자비(HJ) 공식을 사용하여 격자 기반의 유연한 집합 표현 방식을 적용하고, 일반적인 비선형 동역학, 제어, 외란을 처리한다.
• 부분시스템 결과의 교집합 또는 합집합 연산을 통해 후행 가능 집합을 재구성하며, 이는 결합 구조와 목표 집합 정의에 따라 달라진다.
• 공유 외란이 존재하는 시스템의 경우, 최소/최대 BRS의 합집합 또는 교집합을 사용하여 보수적인 재구성을 제공한다.
• 동적 프로그래밍 원리와 점성 해석 이론을 활용하여 정확하거나 보수적인 재구성 조건을 이론적으로 유도한다.
• 이 방법은 어떤 BRS/BRT 계산 방법과도 호환되며, 기존의 HJ 기반 솔버와의 통합이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태, 제어, 외란이 결합된 고차원 비선형 시스템에 대해 후행 가능 집합과 튜브를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 비선형 시스템을 결합된 부분시스템으로 분해할 때, 선형화나 집합 근사 없이도 BRS와 BRT 계산의 정확성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 전체 차원의 BRS 또는 BRT가 저차원 부분시스템 계산 결과로부터 정확히 재구성될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 공유 제어 및 외란의 존재가 BRS와 BRT 재구성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 분해 방법은 전체 차원 시스템에 직접 HJ 기반 계산을 수행하는 것에 비해 얼마나 많은 계산적 이득을 제공하는가?

주요 결과

• 제안된 분해 방법은 공유 제어와 상태를 가진 시스템에 대해 추가 근사 오차 없이 정확한 후행 가능 집합(BRS) 재구성을 가능하게 한다.
• 공유 외란이 존재하는 시스템의 경우, 부분시스템 결과의 합집합 또는 교집합을 사용하여 보수적이지만 계산 가능한 BRS와 BRT 재구성을 제공한다.
• 이 방법은 BRS 및 BRT 계산에서 수개의 주기적 속도 향상을 달성하여, 해밀턴-자비 공식을 사용한 고차원 영역 분석을 처음으로 가능하게 하였다.
• 수치적 결과는 이 방법이 6차원 애슬레틱 큼비터와 10차원 네어휴 큼비터 모두에서 효과적임을 확인하였으며, 이는 유한한 적대적 외란을 가진 시스템에 적용되었다.
• 이론적 보장 조건에 따르면, 부분시스템이 제어와 상태를 공유할 경우 재구성된 BRS와 BRT는 정확하고, 외란이 공유될 경우 보수적인 결과를 보장한다.
• 이 방법은 기존의 어떤 BRS/BRT 계산 방법과도 호환되며, 최신 HJ 솔버와의 원활한 통합이 가능하다.