[논문 리뷰] Default times, non arbitrage conditions and change of probability measures

Délia Coculescu, Monique Jeanblanc외 1명|ArXiv.org|2008. 12. 21.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 27인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비상환 조건과 비상환 조건을 사용하여 $(H)$ 가설의 금융적 정당성을 제시하고, 동일한 확률 측도의 변화 하에서 침습성 성질이 어떻게 유지되거나 변화하는지 분석한다. 침습성 성질은 라돈-니코디모 도함수가 $\mathcal{F}_\infty$-가측일 경우 유지됨을 입증하고, 주어진 동일한 측도 하에서 아제마 초마팅게일의 명시적 곱 분해를 유도하여 지유린과 요르의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we give a financial justification, based on non arbitrage conditions, of the $(H)$ hypothesis in default time modelling. We also show how the $(H)$ hypothesis is affected by an equivalent change of probability measure. The main technique used here is the theory of progressive enlargements of filtrations.

연구 동기 및 목표

• 비상환 조건을 사용하여 디폴트 시간 모델에서 $(H)$ 가설(침입성 성질)의 경제적 근거를 제시하는 것.
• 특히 불완전 시장와 불완전 정보 하에서 동일한 측도의 변화 하에서 침입성 성질이 어떻게 행동하는지 조사하는 것.
• 지유린과 요르의 침입성 성질이 측도 변화 하에서 유지되는 고전적 결과를 더 넓은 범위의 동일한 측도로 확장하는 것.
• 일반적인 동일한 측도 하에서 아제마 초마팅게일에 대한 명시적 공식을 제공하여 디폴트 강도의 실용적 계산을 가능하게 하는 것.
• 물리적 측도와 리스크 중립 측도 모두에서 신용 리스크 모델링에 대한 마팅게일 기법과 진행적 확장 이론을 통합하는 것.

제안 방법

• 디폴트 시간을 $\mathbb{F}$-정지 시간을 피하는 랜덤 시간으로 모델링하기 위해 진행적 필터링 이론을 사용한다.
• 기르산وف 정리와 마팅게일 표현 정리를 적용하여 침입성 성질을 유지하는 측도 변화를 특성화한다.
• 표현된 $\mathbf{Q}$-아제마 초마팅게일의 곱 분해를 유도한다: $ Z^\mathbf{Q}_t = \mathcal{E}(\int (\tilde{F}_s - {}^{(\mathbf{Q},p)}F_s) d\tilde{m}_s)_t \cdot e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Gamma_s} $.
• 일반적인 $\mathbb{G}$-마팅게일을 $\mathbb{F}$ 하에서의 정규직교 로컬 마팅게일과 디폴트 과정 $N_t = \mathbf{1}_{\{\tau \leq t\}} - \Lambda_{t \wedge \tau}$ 를 사용하여 일반적으로 표현한다.
• 예측 가능한 프로젝션 $^{(p,\mathbf{Q})}F$ 와 과정 $\widetilde{m}_t = m_t - \int_0^t \frac{d[m,e]_s}{e_{s-}}$ 를 사용하여 $\mathbf{Q}$ 하에서의 $\mathbb{F}$-마팅게일을 변환한다.
• 만약 $E_t = \mathcal{E}(\int F_s dm_s)_t$ 가 균일하게 적분 가능한 $\mathbb{G}$-마팅게일이고 $H$ 가 $\mathbb{F}$-예측 가능하다면, $\mathbf{Q}$ 하에서 $Z^\mathbf{Q}_t = e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Lambda_s}$ 가 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디폴트 리스크 모델에서 동일한 측도의 변화 하에서 침입성 성질이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 디폴트 시간이 $\mathbb{F}$-정지 시간을 피할 경우, 일반적인 동일한 측도 하에서 아제마 초마팅게일을 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 라돈-니코디모 도함수의 $\mathcal{F}_\infty$-가측성이 침입성 성질 유지에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 리스크 중립이 아닌 측도 변화 하에서도 침입성 성질을 유지할 수 있는가? 그리고 그 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 진행적 확장 프레임워크 하에서 일반적인 동일한 측도 하에서 디폴트 강도와 생존 확률은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 라돈-니코디모 도함수가 $\mathcal{F}_\infty$-가측일 경우, 침입성 성질은 동일한 측도의 변화 하에서 유지되며, 지유린과 요르의 결과를 확장한다.
• 비상환 조건으로 충분한 조건은 리스크 중립 측도가 아니더라도 침입성 성질이 동일한 측도 하에서 성립한다는 것이다.
• $\mathbf{Q}$-아제마 초마팅게일은 곱 분해를 갖는다: $ Z^\mathbf{Q}_t = \mathcal{E}(\int (\tilde{F}_s - {}^{(\mathbf{Q},p)}F_s) d\tilde{m}_s)_t \cdot e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Gamma_s} $, 여기서 $\widetilde{m}$ 은 $\mathbf{Q}$ 하에서의 $\mathbb{F}$-마팅게일이다.
• 만약 $F$ 가 $\mathbb{F}$-예측 가능하고 $H=0$ 이라면, $Z^\mathbf{Q}_t = e^{-\int_0^t d\Lambda_s} = e^{-\int_0^t \lambda_s ds}$ 가 되어, $\mathbf{Q}$ 하에서 디폴트 강도가 일정하게 유지됨을 의미한다.
• $N^\mathbf{Q}_t = \mathbf{1}_{\{\tau \leq t\}} - \int_0^{t \wedge \tau} (1+H_s) d\Lambda_s$ 는 $\mathbf{Q}$ 하에서의 $\mathbb{G}$-마팅게일이며, 이는 $\mathbf{Q}$ 하에서 침입성 성질이 유지됨을 보장한다.
• 이 결과는 이전의 발견을 일반화하여, 밀도가 $\mathcal{F}_\infty$-가측이고 마팅게일 표현 조건이 충족될 경우, 넓은 범위의 동일한 측도 하에서 침입성 성질이 유지됨을 보여준다.