[논문 리뷰] Defmod - Parallel multiphysics finite element code for modeling crustal deformation during the earthquake/rifting cycle

Shehzad Ali|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

Defmod는 다물리성 시뮬레이션을 통해 지진 및 균열 형성 주기 동안 지각 변형을 모델링하는 오픈소스, 병렬 처리, 비정렬 유한요소 코드로, Fortran 95로 작성되었다. PETSc 기반의 해법기를 통해 동적 및 준정적인 과정—공진도 이완, 도크 침입, 다공성 탄성 복귀, 점탄성 회복—을 지원하며, 수천 개의 코어에서 고성능 병렬 효율을 보장하는 확장 가능한 시뮬레이션을 가능하게 한다. 또한 정확한 다공성 탄성 모델링을 위해 안정화된 선형 요소를 사용한다.

ABSTRACT

In this article, we present Defmod, an open source, fully unstructured, two or three dimensional, parallel finite element code for modeling crustal deformation over time scales ranging from milliseconds to thousands of years. Unlike existing public domain numerical codes, Defmod can simulate deformation due to all major processes that make up the earthquake/rifting cycle, in non-homogeneous media. Specifically, it can be used to model deformation due to dynamic and quasistatic processes such as co-seismic slip or dike intrusion(s), poroelastic rebound due to fluid flow and post-seismic or post-rifting viscoelastic relaxation. It can also be used to model deformation due to processes such as post-glacial rebound, hydrological (un)loading, injection and/or withdrawal of fluids from subsurface reservoirs etc. Defmod is written in Fortran 95 and uses PETSc's parallel sparse data structures and implicit solvers. Problems can be solved using (stabilized) linear triangular, quadrilateral, tetrahedral or hexahedral elements on shared or distributed memory machines with hundreds or even thousands of processor cores. In the current version of the code, prescribed loading is supported. Results are written in ASCII VTK format for easy visualization. The source code is released under the terms of GNU General Public License (v3.0) and is freely available from https://bitbucket.org/stali/defmod/.

연구 동기 및 목표

• 다양한 시간스케일에서 복잡한 지각 변형 과정을 시뮬레이션할 수 있는 유연하고 오픈소스의 유한요소 코드를 개발하기 위해.
• 단일 통합 프레임워크 내에서 지진성 슬립, 유체 유도 다공성 탄성 복귀, 점탄성 회복과 같은 상호 연관된 지구물리학적 과정을 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위해.
• 비균질 매질과 다양한 유체역학적 특성, 복잡한 기하학적 형상을 갖는 경우에도 비정렬 메esh와 안정화된 유한요소를 사용하여 모델링을 지원하기 위해.
• PETSc의 병렬 희소 해법기를 활용하여 공유 메모리 또는 분산 메모리 아키텍처에서 고성능 및 확장 가능한 시뮬레이션을 지원하기 위해.
• 짧은 ~2000줄의 Fortran 95 코드로 구현되어 있어 연구 외에도 교육 및 교육적 용도로도 적합한 도구를 제공하기 위해.

제안 방법

• Defmod는 유한요소법을 사용하여 운동의 카우치 방정식을 해결하며, 약식 형식을 이원화하여 반연속 시스템으로 변환한다: Mü + Cü + Ku = f.
• 고정된 표면 슬립, 변위 및 속도 제약 조건을 강제하기 위해 라그랑주 승수를 사용하며, 확장된 시스템 방정식을 통해 이를 구현한다: Mü + Cu̇ + Ku + Gᵀλ = f 및 Gu = l.
• 동적 파동 전파를 위해 가속도에는 명시적 중심차분법을, 속도에는 역행차분법을 사용하며, 효율적인 역행렬 계산을 위해 농축 질량 행렬을 적용한다.
• 레이글레인 감쇠(C = αM + βK)를 사용하여 수치적 소산을 제어하며, 시간 간격은 CFL 조건에 의해 제한된다: Δt ≤ L/c, 여기서 c = √(E/ρ).
• 준정적 문제의 경우, PETSc의 반복적 또는 직접 해법기를 사용하여 암시적 시간 적분을 수행하며, 다공성 탄성의 경우 운동량과 연속성 방정식을 결합하여 해를 구한다.
• 다공성 탄성 문제에서 선형 요소의 인프-소프 조건을 충족하기 위해 보체브 및 도르만(Bochev & Dohrmann, 2006)의 국소 압력 투영 기법을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지진/균열 형성 주기 동안 동적 균열, 유체 유동, 점탄성 회복과 같은 상호 연관된 다양한 과정을 한 개의 유한요소 코드로 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 Defmod의 성능는 수천 개의 프로세서 코어에서 명시적 탄성역학 문제와 암시적 준정적 문제 모두에서 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 Defmod의 안정화된 선형 요소 구현 방식이 다공성 탄성 문제에서 고차원 방법 대비 정확성과 안정성에서 얼마나 우수한가?
• RQ4 약 ~2000줄의 짧은 Fortran 95 코드로 대규모 지구물리학적 시뮬레이션에서 고성능 및 확장성을 얼마나 달성할 수 있는가?
• RQ5 리슬머와 쿠헬마이어의 댐퍼 기반 파동 흡수 기법이 경계에서 비정상적인 반사파를 최소화하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• Defmod는 최대 1024개의 코어에서 명시적 탄성역학 문제와 암시적 준정적 문제 모두에서 병렬 효율이 0.90 이상을 유지하며, 고코어 수에서도 성능이 안정적이다.
• 명시적 탄성역학 문제의 경우, 코어 수를 512개에서 1024개로 늘릴 때 효율이 0.93에서 0.80으로 감소하며, 주로 코어당 처리 작업량 감소(24.4K DOFs/core 이하) 때문이지만, 전체적으로는 높은 효율 유지를 보인다.
• 암시적 준정적 해법기는 코어당 추가적인 국소 계산(예: 응력 복구, 힘 벡터 조립) 덕분에 더 높은 효율(1024코어에서 0.87)을 유지한다.
• Defmod는 안정화된 선형 요소를 사용하여 다공성 탄성 복귀를 성공적으로 시뮬레이션했으며, 고차원 요소가 필요 없이 락킹을 방지하고 정확성을 확보한다.
• 암시적 해법기의 500번째 반복에서 최종 조건부 잔여 노름은 1024코어에서 4.965×10⁻⁵로 나타나 수렴성이 뛰어나다는 것을 보여준다.
• Defmod는 약 2500만 개의 자유도를 가진 3D 람의 문제에서 강력한 스케일링 성능을 입증하며, 현대 HPC 클러스터에서 대규모 지구물리학적 시뮬레이션을 수행할 수 있는 능력을 입증한다.