[논문 리뷰] Deformation complex of a d-algebra is a (d+1)-algebra

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|2000. 10. 07.

Advanced Scientific Research Methods인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 특성 0에서 $d$-대수의 변형 복합체를 $d$만큼 이동시킨 경우, 자연스럽게 $(d+1)$-대수의 구조를 지닌다는 순수 대수적 증명을 제공한다. $d$-대수의 호모토피 이론과 코표준 코알제브라 위의 함자의 표준성에 기반하여, 변형 복합체에 $d$-bialgebra의 구조를 구성하고, 이는 ${\rm def}(X)[-d]$에 호모토피 $(d+1)$-대수의 구조를 유도한다. 이를 통해 콘체비치의 준동형 결과를 특성 0에서 순수 대수적으로 확립한다.

ABSTRACT

We prove thst the deformation complex of a d-algebra (shifted by 1-d) carries a natural structure of (d+1)-algebra. This is a purely algebraic version of a similkar theorem of Kontsevich.

연구 동기 및 목표

• 변형 복합체에 대한 콘체비치 정리의 변종에 대한 순수 대수적 증명을 제공하는 것.
• 변형 복합체 ${\rm def}(X)$가 $d$-대수 $X$일 때, $d$만큼 이동된 경우 자연스럽게 $(d+1)$-대수의 구조를 지닌다는 것을 증명하는 것.
• Koszul 작동자 이론과 호모토피 $d$-대수 이론을 사용하여, 변형 복합체를 바르드 구조 $X^\lor$ 위의 유도자들의 dg 리 대수로 정의하는 것.
• 항등원의 형식적 이웃에서의 사상 함자를 $d$-bialgebra로 표현할 수 있음을 보이고, 이로 인해 $(d+1)$-대수의 구조가 유도됨을 보이는 것.

제안 방법

• 다른 대수들인 결합 및 리 대수의 바르드 구조를 일반화하여, $V[-d]$에 의해 생성되는 코자유 $d$-코알제브라 위의 미분을 통해 호모토피 $d$-대수를 정의한다.
• 변형 복합체 ${\rm def}(X)$를 $d$-코알제브라 $X^\lor = {\rm Cofree}_d(V[-d])$ 위의 유도자들의 dg 리 대수로 구성한다. 이는 $d$-대수의 구조에서 유도된 이차 미분을 갖는다.
• 코표준 $d$-코알제브라 $a$에 대해, $F^\phi_{X,Y}(a) = \{ \text{사상 } X^\lor \otimes a \to Y^\lor \mid \text{중간 사상이 } \phi \}$ 를 정의하고, 이 함수가 $d$-코알제브라 $\underline{\rm Hom}^\phi(X,Y)$ 에 의해 표준화됨을 증명한다.
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$ 가 $d$-bialgebra임을 보이고, 이는 결합 법칙과 코결합 법칙을 만족하며, ${\rm def}(X)$ 위의 코자유 $d$-코알제브라와 동형임을 보인다.
• 이 $d$-bialgebra의 코커뮤터티브 코알제브라 부분범주로의 제한은, Poincar\'e-Birkhoff-Witt 동형사상에 의해 $U({\rm def}(X))$와 동형인 호프 대수임을 보인다.
• ${\rm def}(X)[-d]$에 대한 호모토피 $(d+1)$-대수의 구조를, $d$-bialgebra의 원시 원소를 분석하고, Lie 코알제브라 $CofreeLie(a'[1])[d-1]$ 위의 미분에 대한 사이클 조건을 검증함으로써 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0에서 $d$-대수의 변형 복합체를 $d$만큼 이동시켰을 때, 자연스럽게 $(d+1)$-대수의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 이러한 구조는 위상적 작동자나 유리수 호모토피 이론에 의존하지 않고 순수 대수적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 ${\rm def}(X)[-d]$에 존재하는 $(d+1)$-대수의 구조는 $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$의 $d$-bialgebra의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\rm def(X)$ 위의 리 대수의 구조는 $d$-bialgebra의 원시 부분구조로부터 복원되는가?
• RQ5 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 동형사상은 $C(\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X))$의 호프 대수의 구조와 $U({\rm def}(X))$ 사이의 관계에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ${\rm def}(X)$의 변형 복합체는 그 차수를 갖는 벡터 공간으로서 $a'[d]$와 동형이며, 여기서 $a'$는 ${\rm Hom}_k(V^\lor, V)$에 이차 미분이 가미된 $d$-대수이다.
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$의 $d$-bialgebra의 구조는 ${\rm def}(X)[-d]$에 호모토피 $(d+1)$-대수의 구조를 유도하며, 리 괄호와 교환 법칙이 미분과 호환됨을 보인다.
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$의 원시 원소들은 $CofreeLie(a'[1])[d-1]$과 동형인 미분 리 이중대수이며, 사이클 조건 $\delta([x,y]) = [\delta x, y] + (-1)^{|x|(d-1)}[x, \delta y]$ 를 만족한다.
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$의 $d$-bialgebra의 구조를 부분코알제브라 $S(a'[d])$에 제한하면, $U({\rm def}(X))$와 동형인 호프 대수가 되며, 이 동형사상은 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 사상이다.
• $\rm def(X)$ 위의 리 대수의 구조는 $CofreeLie(a'[1])[d-1]$의 원시 원소들 위의 교환자와 일치하며, 따라서 $(d+1)$-대수의 구조로부터 복원된다.
• $a'$의 리 괄호는 호모토피적으로 영이 되며, 이는 미분 복합체에서 정확한 것으로 나타나며, 이는 $(d+1)$-대수의 구조가 고차 호모토피 일반화임과 일치한다.