[논문 리뷰] Deformation Quantisation of Constrained Systems

Frank Antonsen|ArXiv.org|1997. 10. 03.

Dynamics and Control of Mechanical Systems참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제약이 있는 해밀턴 체계에 대한 변형 양자화 접근법을 제시하며, 모일 양자화를 통해 제2종 제약을 제1종 양자 제약으로 변환하는 방법을 보여준다. 이는 양-밀스 이론과 중력 이론에서 이상 현상과 물리 상태 제약을 해결하며, 아쉬테카르 형식이 이상 현상을 중심 확장으로 단순화하고 물리 상태 방정식을 유한 차수로 줄임으로써 BRST 방법과의 호환성을 입증한다.

ABSTRACT

We study the deformation quantisation (Moyal quantisation) of general constrained Hamiltonian systems. It is shown how second class constraints can be turned into first class quantum constraints. This is illustrated by the O(N) non-linear $σ$-model. Some new light is also shed on the Dirac bracket. Furthermore, it is shown how classical constraints not in involution with the classical Hamiltonian, can be turned into quantum constraints {\em in} involution with respect to the Hamiltonian. Conditions on the existence of anomalies are also derived, and it is shown how some kinds of anomalies can be removed. The equations defining the set of physical states are also given. It turns out that the deformation quantisation of pure Yang-Mills theory is straightforward whereas gravity is anomalous. A formal solution to the Yang-Mills quantum constraints is found. In the \small{ADM} formalism of gravity the anomaly is very complicated and the equations picking out physical states become infinite order functional differential equations, whereas the Ashtekar variables remedy both of these problems -- the anomaly becoming simply a central extension (Schwinger term) and the equations for physical states become finite order. We finally elaborate on the underlying geometrical structure and show the method to be compatible with BRST methods.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 제약이 있는 해밀턴 체계에 대해 일관된 변형 양자화 프레임워크를 개발하는 것.
• 양자역학에서 제2종 제약의 과제를 제2종 양자 제약으로 변환함으로써 해결하는 것.
• 특히 중력 이론과 양-밀스 이론에서 양자 제약의 이상 현상을 해결하는 것.
• 특히 ADM 및 아쉬테카르 형식에서 변형 양자화의 물리 상태에 대한 명시적 방정식을 유도하는 것.
• 변형 양자화와 BRST 코homology 방법 간의 호환성을 확립하는 것.

제안 방법

• 클래식 관측량의 파아송 대수를 변형하기 위해 모일 양자화(스타곱 형식)를 사용한다.
• 수정된 스타곱을 통해 제2종 제약을 제1종 양자 제약으로 체계적으로 변환하는 절차를 적용한다.
• 양자 제약이 해밀토니안과 교환되지 않는 실패를 분석함으로써 이상 현상 보상 조건을 도입한다.
• 형식의 구체적 예시로 O(N) 비선형 σ-모델에 이 방법을 적용한다.
• ADM 형식에서 아쉬테카르 변수를 사용하여 이상 현상의 구조를 단순화하고 중심 확장으로 줄인다.
• 아쉬테카르 표현에서 물리 상태에 대한 유한 차수 미분 방정식을 유도하며, ADM 표현에서의 무한 차수 방정식과 대비한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 변형 양자화를 통해 고전 해밀턴 체계의 제2종 제약을 일관적으로 제1종 양자 제약으로 양자화할 수 있는가?
• RQ2 제약 시스템의 양자 제약에서 이상 현상을 피하기 위해 만족시켜야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 변형 양자화 접근법은 양-밀스 이론과 중력 이론과 같은 시스템에서 물리 상태 조건을 어떻게 다루는가?
• RQ4 왜 중력의 ADM 형식은 물리 상태에 대해 무한 차수의 함수 미분 방정식을 유도하는가? 아쉬테카르 형식은 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ5 제약 시스템에서 변형 양자화가 BRST 코homology 방법과 어느 정도 호환되는가?

주요 결과

• 순수한 양-밀스 이론의 변형 양자화는 간단하고 이상 현상이 없으며, 양자 제약에 대한 형식적 해가 제공된다.
• 중력의 ADM 형식에서 이상 현상은 매우 복잡해지며, 물리 상태에 대해 무한 차수의 함수 미분 방정식을 유도한다.
• 아쉬테카르 변수는 중력 이상 현상을 간단한 중심 확장(슈윙거 항)으로 변환하여 양자 구조를 크게 단순화한다.
• 아쉬테카르 형식에서 물리 상태 방정식은 유한 차수의 미분 방정식으로 줄어들어, ADM 접근법보다 더 다룰 수 있다.
• 이 방법은 고전적 제2종 제약을 제1종 양자 제약으로 성공적으로 변환하여 해밀턴 역학과의 일관성을 유지한다.
• 형식이 BRST 코homology와 호환됨을 입증하여 기존의 양자화 프레임워크와의 일관성을 보여준다.