[论文解读] Deformation quantization modules II. Hochschild class

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文为复泊松流形上的形变量子化代数丛上的一致相干层构造了Hochschild类，定义了Hochschild同调上的卷积积，并证明了两个层的卷积的Hochschild类等于其各自类的卷积。在辛情形下，该构造产生了一个典范且行为良好的Hochschild同调类。

ABSTRACT

This paper is the continuation of arXiv:0802.1245. We construct the Hochschild class for coherent modules over a deformation quantization algebroid on a complex Poisson manifold. We also define the convolution of Hochschild homologies, and prove that the Hochschild class of the convolution of two coherent modules is the convolution of their Hochschild classes. We study with some details the case of symplectic deformations.

研究动机与目标

• 为复泊松流形上的形变量子化代数丛上的一致相干层定义Hochschild类。
• 在这些层的Hochschild同调上引入卷积积结构。
• 建立两个层的卷积的Hochschild类等于其各自Hochschild类的卷积这一关系。
• 详细分析辛形变的特殊情况，此时构造成为典范且行为良好。

提出的方法

• 利用形变量子化的形式语言和泊松流形上的一致层丛构造Hochschild类。
• 应用代数丛上模的Hochschild同调理论，通过导出范畴和Ext群来定义该类。
• 通过形变量子化代数上的导出张量积，在Hochschild同调上引入卷积积。
• 利用形变量子化代数丛的结构，确保卷积与Hochschild类构造相容。
• 在辛情形下应用微分形式算子和D-模理论，以简化并澄清该类的构造。
• 采用导出代数几何和扭曲层的形式语言，以处理非平凡的泊松结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为复泊松流形上的形变量子化代数丛上的一致相干层定义Hochschild类？
• RQ2 此类层的Hochschild同调上是否存在自然的卷积结构？
• RQ3 两个层的卷积的Hochschild类是否与它们各自Hochschild类的卷积一致？
• RQ4 该构造在辛情形下如何表现？会出现哪些简化？

主要发现

• 复泊松流形上的形变量子化代数丛上的一致相干层的Hochschild类是良定义的且具有函子性。
• 在Hochschild同调上定义了与形变量子化代数模结构相容的卷积积。
• 两个层的卷积的Hochschild类同构于其各自Hochschild类的卷积。
• 在辛情形下，Hochschild类的构造成为典范的，且由于泊松结构的非退化性而显著简化。
• 该结果建立了一个在形变量子化中通过Hochschild同调研究特征类的一致框架。
• 该构造在量子化代数的表示理论与泊松几何中的几何不变量之间建立了桥梁。