[论文解读] Deligne--Lusztig constructions for division algebras and the local Langlands correspondence, II

Charlotte Chan|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文通过 Deligne–Lusztig 理论，对除法代数的局部 Langlands 与 Jacquet–Langlands 对应关系给出了几何实现。证明了对于在非分歧扩张 $L/K$ 上的本原特征标 $\theta$（阶为 $h$），$D^\times$-表示 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ 是不可约的，且集中于度数 $(n-1)(h-k)^+$，与 $\mathrm{GL}_n(K)$ 的相应超临界表示的 Jacquet–Langlands 转移一致。

ABSTRACT

In 1979, Lusztig proposed a cohomological construction of supercuspidal representations of reductive $p$-adic groups, analogous to Deligne-Lusztig theory for finite reductive groups. In this paper we establish a new instance of Lusztig's program. Precisely, let $X$ be the $p$-adic Deligne-Lusztig ind-scheme associated to a division algebra $D$ of invariant k/n over a non-Archimedean local field $K$. We study its homology groups by establishing a Deligne-Lusztig theory for families of finite unipotent groups that arise as subquotients of $D^ imes$. The homology of $X$ induces a natural correspondence between quasi-characters of the (multiplicative group of the) unramified degree-$n$ extension of $K$ and representations of $D^{ imes}$. For a broad class of characters $θ,$ we show that the representation $H_\bullet(X)[θ]$ is irreducible and concentrated in a single degree. Moreover, we show that this correspondence matches the bijection given by local Langlands and Jacquet-Langlands. As a corollary, we obtain a geometric realization of Jacquet-Langlands transfers between representations of division algebras.

研究动机与目标

• 通过构造 $L^\times$ 上的特征标与 $D^\times$ 上的表示之间的几何对应关系，将 Lusztig 的 $p$-进 Deligne–Lusztig 计划扩展至除法代数。
• 建立 $D^\times$ 上的上同调 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ 为不可约表示，其中 $\theta$ 为本原特征标。
• 证明该构造几何实现了 $\mathrm{GL}_n(K)$ 与 $D^\times$ 之间的 Jacquet–Langlands 对应关系，与已知的 Langlands 对应关系一致。

提出的方法

• 构造与 $K$ 上的非阿赋值局部域 $K$ 上的除法代数 $D$（不变量为 $k/n$）相关的 $p$-进 Deligne–Lusztig ind-概形 $X$。
• 通过作为 $D^\times$ 的子商群的有限幂零群族 $U_{h,k}^{n,q}$ 研究 $D^\times$-表示 $H_{\bullet}(X)$。
• 分析 $(1+\tilde{\frak{p}}^h)$ 在子概形 $X_h \to U_{h,k}^{n,q}(\bbF_{q^n})$ 上的作用，将问题约化为有限群表示。
• 利用 $L^\times$ 上阶为 $h$ 的本原特征标 $\theta$（其中 $L$ 是 $K$ 的非分歧次数 $n$ 扩张）定义对应关系 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$。
• 应用局部 Langlands 对应关系将 $\theta$ 关联至 Weil 群表示 $\rho_{\theta}$，并通过 Jacquet–Langlands 对应关系关联至 $D^\times$ 的超临界表示 $\rho_{\theta}$。
• 通过检查在 $\mathrm{Nrd}_{D/K} \times \text{残余特征标}$ 下的不变性以及在非常正则元素上的特征标迹恒等式，验证 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ 与 $\rho_{\theta}$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 除法代数的 $p$-进 Deligne–Lusztig 构造是否产生 $D^\times$ 的不可约表示？
• RQ2 对于本原特征标 $\theta$，上同调 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ 是否集中于单一维度？
• RQ3 对应关系 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$ 是否几何实现了 $\mathrm{GL}_n(K)$ 与 $D^\times$ 之间的 Jacquet–Langlands 转移？
• RQ4 是否能通过 Deligne–Lusztig 理论在除法代数情形下几何实现 $D^\times$ 的局部 Langlands 对应关系？

主要发现

• 对于阶为 $h$ 的本原特征标 $\theta$，表示 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ 是不可约的，且集中于度数 $(n-1)(h-k)^+$，其余所有度数为零。
• 上同调群 $H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ 同构于在局部 Langlands 与 Jacquet–Langlands 对应关系下与 $\theta$ 对应的 $D^\times$ 的不可约表示 $\rho_{\theta}$。
• 对应关系 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$ 匹配了局部 Langlands 与 Jacquet–Langlands 双射的复合，从而提供了后者的几何实现。
• 该构造在 $\mathrm{Nrd}_{D/K} \times \text{残余}$ 特征标的扭变下保持不变，确认了与预期自守性质的相容性。
• 当另一除法代数 $D'$ 的不变量为 $k'/n$ 时，$H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ 的 Jacquet–Langlands 转移同构于 $H_{(n-1)(h-k')^+}(X')[\theta]$，确认了转移的不变性。
• 在非常正则元素 $x$ 上，$H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ 的迹等于其伽罗瓦共轭的和，验证了特征标恒等式。