[논문 리뷰] Delocalization and ergodicity of the Anderson model on Bethe lattices

Giulio Biroli, Marco Tarzia|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 17.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 1인용 수 41

한 줄 요약

논문은 Bethe lattices에서 Belief Propagation을 사용하여 delocalized non-ergodic 및 ergodic regimes를 분석하고, Cayley 트리에서 delocalized non-ergodic phase를 확인하며 random regular graphs (RRG)에서 disorder-dependent scale N_c(W) 너머로 ergodic crossover를 드러낸다.

ABSTRACT

We review the state of the art on the delocalized non-ergodic regime of the Anderson model on Bethe lattices. We also present new results using Belief Propagation, which consists in solving the self-consistent recursion relations for the Green's functions directly on a given sample. This allows us to numerically study very large system sizes and to directly access observables related to the eigenfunctions and energy level statistics. In agreement with recent works, we establish the existence of a delocalized non-ergodic phase on Cayley trees. On random regular graphs instead our results indicate that ergodicity is recovered when the system size is larger than a cross-over scale $N_c (W)$, which diverges exponentially fast approaching the localization transition. This scale corresponds to the size at which the mean-level spacing becomes smaller than the Thouless energy $E_{Th} (W)$. Such energy scale, which vanishes exponentially fast approaching the localization transition, is the one below which ergodicity in the level statistics is restored in the thermodynamic limit. Remarkably, the behavior of random regular graphs below $N_c (W)$ coincides with the one found close to the root of loop-less infinite Cayley trees, {\it i.e.} only above $N_c (W)$ the effects of loops emerge and random regular graphs behave differently from Cayley trees. Our results indicate that ergodicity is recovered in the thermodynamic limit on random regular graph. However, all observables probing volumes smaller than $N_c(W)$ and times smaller than $\hbar/E_{Th} (W)$ are expected to behave as if there were an intermediate phase. Given the very fast divergence of $N_c(W)$ and $\hbar/E_{Th} (W)$ these non-ergodic effects are very pronounced in a large region preceding the localization transition, and they can be related to the intermediate phase present on Cayley trees.

연구 동기 및 목표

• Bethe lattices에서 Anderson 모델의 delocalized non-ergodic 영역을 조사한다.
• Cayley trees에서의 비에르고딕 성질과 random regular graphs에서의 에르고딕 성질을 구별한다.
• 대형 유한 샘플에서 self-consistent Green’s function 방정식을 풀기 위해 Belief Propagation을 개발하고 적용한다.
• 고유함수 및 에너지 준위 통계와 관련된 관측량(예: 수준 압축성(level compressibility) 및 고유상 중첩)을 확보한다.
• 이들 격자에서 시스템 크기와 무작위성이 에르고딕성 및 다중프랙탈성에 미치는 영향을 특성화한다.

제안 방법

• Belief Propagation (BP)을 사용하여 대형 유한 샘플에서 Green’s 함수의 self-consistent 재귀 관계를 풀이한다.
• BP 결과를 RRG와 Cayley trees에서 비교하여 경계/루프 효과를 밝힌다.
• 이웃 간 격차 비 r 및 연속 고유벡터 간 상호 중첩 q를 통해 수준 통계를 계산한다.
• Inverse participation ratio (IPR) 및 지지 집합을 측정하여 다중프랙탈성과 에르고딕성을 평가한다.
• fractals 차원 f(α)의 스펙트럼과 그 경계 α_- 및 α_1을 분석하여 다중프랙탈성을 특징화한다.
• RRG에서 ergodicity가 회복되는 교차 크기 N_c(W)를 식별하고 이를 Thouless energy E_Th(W)와 관련지킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cayley trees에서의 delocalized non-ergodic phase와 random regular graphs에서의 존재 여부가 있는가?
• RQ2 열역학 한계에서 RRG의 ergodicity는 회복되는가, 그리고 교차 스케일 N_c(W)는 무엇인가?
• RQ3 Bethe lattices에서의 무작위성 강도와 시스템 크기에 따라 레벨 통계와 고유함수 통계는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이 맥락에서 Cayley 트리와 random regular graphs를 구분짓는 경계 및 루프 효과는 무엇인가?
• RQ5 delocalized 영역에서의 다중프랙탈성이 IPR 및 f(α)와 같은 관측 가능량과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• Cayley trees에서 실제로 다중프랙탈 특성을 가진 delocalized non-ergodic phase가 존재한다.
• RRG에서 열역학적 극한에서는 ergodicity가 회복되며, N_c(W)라는 교차 스케일이 로컬라이제이션 전이에 가까워질수록 지수적으로 발산한다.
• RRG의 delocalized phase에서의 수준 통계는 GOE에 가깝지만, 유한 크기 효과로 인해 N에 따라 관측값의 비단조적 특성이 나타나며 이는 N_c(W)로 특징지어진다.
• 자체적으로 Thouless energy E_Th(W)를 넘지 않는 에너지 스케일 아래에서 ergodicity가 열역학적 극한에서 다시 나타난다는 것을 평균 수준 간격의 교차로 정의한다.
• 프랙탈 차원 D_1 및 D_2의 N과 W에 따른 흐름은 교차 영역과 연관된 비단조적 유한 크기 효과를 시사한다.
• singularity spectrum f_N(α)는 교차에 근접한 시스템 크기에서 비단조적으로 진화하며 Cayley-tree 다중프랙탈성과 RRG의 비에르고딕 특성을 연결한다.