[논문 리뷰] Dense entire curves in Rationally Connected manifolds

Frédéric Campana, J. Winkelmann|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 03.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 콤���트 유리 연결 복소 프로젝티브 다양체에서 순수한 차수 0의 메트릭으로 조밀한 전체 곡선의 존재를 증명하며, 콤 스무딩 기법을 사용하여 특수 다양체에 대한 추측을 확인한다. 또한 이러한 곡선은 로그-터미널 유리 표면의 특이점 집합을 피할 수 있으며, 분지 덮개로 올라가지 못함을 보이며, 약한 힐베르트 성질의 네바린나 이론적 해석을 지지한다.

ABSTRACT

We show the existence of metrically dense entire curves in rationally connected complex projective manifolds confirming for this case a conjecture according to which such entire curves on projective manifolds exist if and only if these are "special". We also show that such a dense entire curve may be chosen in such a way that it does not lift to any of its ramified covers, answering in this case a question of Corvaja and Zannier about the Nevanlinna analog of the `weak Hilbert property' of arithmetic geometry. We consider briefly the other test case of the conjecture, namely manifolds with $c_1=0$. Furthermore we discuss entire curves in normal rational surfaces avoiding the singular locus.

연구 동기 및 목표

• 유리 연결 복소 프로젝티브 다양체에서 메트릭으로 조밀한 전체 곡선의 존재를 증명하고, 특수 다양체에 대한 추측을 확인한다.
• 이러한 곡선이 순수한 차수 0 성장으로 구성될 수 있음을 보이며, 유리화 가능한 경우를 초월한 함수 이론적 보간을 확장한다.
• 조밀한 전체 곡선이 분지 덮개로 올라가지 못함을 보이며, 약한 힐베르트 성질의 네바린나 이론적 해석을 지지한다.
• 결과를 로그-터미널 정규 유리 표면과 아벨 또는 타원 곡면으로 분할된 칼라비-야우 3차원 다양체로 확장한다.
• 성장 차수와 특성 함수가 특수 다양체 위의 전체 곡선에서 네바린나 이론에서 수행하는 역할을 조사한다.

제안 방법

• Kollár-Miyaoka-Mori의 콤 스무딩 기법을 사용하여 전체 곡선을 유리 곡선의 극한으로 구성한다.
• 제어된 특성 함수를 가진 유리 곡선의 재귀적 근사화를 통해 순수한 차수 0 성장을 보장한다.
• 특성 함수 $ T_f(r) $ 를 유계로 하는 연속 함수 $ g(r) $ 를 정의하며, $ \lim_{r\to\infty} \frac{\log g(r)}{\log r} = 0 $ 이다.
• 모든 $ r \geq 2 $ 에 대해 $ T_{f_n}(r) \leq \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)g(r) $ 를 만족하는 유리 곡선의 수열 $ f_n $ 을 구성한다.
• 극한 $ f = \lim f_n $ 을 취하여 $ T_f(r) \leq g(r) $ 가 되게 하며, 이는 $ \rho_f = 0 $ 을 의미한다.
• 최소 모델 프로그램과 로그-터미널 쌍 이론을 적용하여 특수 다양체의 특이점 집합을 피하는 곡선을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 연결 다양체는 메트릭으로 조밀하고 순수한 차수 0을 가진 전체 곡선을 갖는가?
• RQ2 유리 연결 다양체의 전체 곡선은 분지 덮개로의 올림을 피할 수 있으며, 이는 약한 힐베르트 성질의 네바린나 이론적 해석을 지지하는가?
• RQ3 몫 특이점을 가진 정규 프로젝티브 표면에서 어떤 조건이면 특이점 집합을 피하는 조밀한 전체 곡선이 존재하는가?
• RQ4 전체 곡선의 성장 차수 $ \rho_f $ 는 환경 다양체의 기하학적 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특성 함수 $ T_f(r) $ 는 전체 곡선의 차수와 조밀성 제어에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 유리 연결 복소 프로젝티브 다양체 $ X $ 에 대해 전체 곡선 $ f: \mathbb{C} \to X $ 를 구성하며, 이 곡선의 차수 $ \rho_f = 0 $ 이며, 특수 다양체에 대한 추측을 확인한다.
• 이러한 곡선은 주어진 가 countable 부분집합 $ M \subset X $ 를 지나며, 고정된 초표면 $ D $ 와 횡단으로 만날 수 있도록 만들 수 있다.
• 구성된 곡선은 어떤 비자명한 분지 덮개 $ Y \to X $ 로도 올라가지 못하며, 이는 유리 연결 다양체에 대해 약한 힐베르트 성질의 네바린나 이론적 해석을 확인한다.
• 몫 특이점을 가진 정규 프로젝티브 표면 $ X $ 에 대해, 만약 $ \mathbb{Q} $-다중분포 $ \Delta $ 가 존재하여 $ K_X + \Delta $ 가 $ \mathbb{Q} $-자명하고 $ (X, \Delta) $ 가 로그-터미널이면, 특이점 집합을 피하는 조밀한 전체 곡선이 존재한다.
• 구성 과정은 $ \lim_{r\to\infty} \frac{\log g(r)}{\log r} = 0 $ 를 만족하는 함수 $ g $ 에 대해 $ T_f(r) \leq g(r) $ 를 보장하며, 이는 $ \rho_f = 0 $ 을 의미한다.
• Grassi와 Oguiso의 결과를 통해 결과는 아벨 곡면 또는 타원 곡선으로 분할된 칼라비-야우 3차원 다양체로 확장된다.