[논문 리뷰] Derivative pricing with virtual arbitrage

Kirill Ilinski, A. S. Stepanenko|ArXiv.org|1999. 02. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 가상의 무위험거래 기회가 일시적임을 고려하여 그 수익률을 지수 감쇠를 갖는 확률과정으로 모델링함으로써 수정된 파생상품 가격 결정 모델을 제안한다. 이는 블랙-숄즈 모델을 일반화하는 적분미분방정식을 유도하며, 시장의 빠른 시정 또는 무위험거래가 없는 경우에 원래의 블랙-숄즈 방정식으로 복원됨을 보여준다. 유럽식 콜 및 풋 옵션에 대한 명시적인 해석적 보정항이 유도되었으며, 첫 번째 차수 보정항은 무위험거래의 감쇠율과 변동성에 의존한다.

ABSTRACT

In this paper we derive an effective equation for derivative pricing which accounts for the presence of virtual arbitrage opportunities and their elimination by the market. We model the arbitrage return by a stochastic process and find an equation for the average derivative price. This is an integro-differential equation which, in the absence of the virtual arbitrage or for an infinitely fast market reaction, reduces to the Black-Scholes equation. Explicit formulas are obtained for European call and put vanilla options.

연구 동기 및 목표

• 기존의 파생상품 가격 결정 모델이 무위험거래 조건을 완벽하게 가정하고 있음에도 불구하고 실증적으로 짧은 기간 동안의 일시적인 가상의 무위험거래 기회가 존재한다는 점을 고려하여 이를 보완하고자 한다.
• 금융시장에서 국소적 무위험거래 기회의 유한한 수명과 감쇠 특성을 포함하는 실용적인 해석적 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 가상의 무위험거래가 존재하지 않거나 즉각적으로 제거될 경우 블랙-숄즈 방정식으로 수렴하는 수정된 가격 결정 방정식을 유도하고자 한다.
• 가상의 무위험거래 영향을 받는 유럽식 바닐라 옵션 가격에 대한 명시적인 해석적 공식, 특히 첫 번째 차수 보정항을 제공하고자 한다.

제안 방법

• 기본 표기법과 기초 가정을 설정하기 위해 블랙-숄즈 방정식을 무위험 포트폴리오 접근법을 재수립한다.
• 가상의 무위험거래에서 발생하는 순간 수익률을 시장 참가자의 무위험거래 활동을 나타내는 감쇠율 λ를 갖는 지수 감쇠를 갖는 확률과정으로 모델링한다.
• 과거의 무위험거래 사건이 현재 파생상품 가격에 미치는 영향을 기록하는 커널 함수 K(t, t′)를 도입하며, 이는 감쇠 역학에서 유도된다.
• Σ²/λ를 작은 매개변수로 삼아 펌베이션 이론을 적용하여 블랙-숄즈 해에 대한 첫 번째 차수 보정항을 유도한다.
• 해결된 적분미분방정식을 블랙-숄즈 연산자의 그린 함수와 커널 K를 포함하는 적분 형태로 표현함으로써 보정항을 구한다.
• 보정항을 시간에 대해 통합하여 유럽식 콜 및 풋 옵션 가격에 대한 명시적 공식을 도출하며, 이는 감쇠율 λ와 변동성 σ에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 무위험거래 가정에 의존하지 않고도 일시적인 가상의 무위험거래 기회를 파생상품 가격 결정 프레임워크 내에서 일관되게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 유한한 수명을 가진 무위험거래 기회가 유럽식 옵션 가격, 특히 단기적으로 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 가상의 무위험거래를 시장이 얼마나 빠르게 시정하는가(감쇠율 λ로 특징지어짐)가 블랙-숄즈 가격에서의 편차에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 무위험거래가 존재하지만 시간이 지남에 따라 감쇠하는 조건에서 옵션 가격에 대한 실용적인 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 가상의 무위험거래로 인한 블랙-숄즈 가격에 대한 첫 번째 차수 보정항의 형태는 무엇이며, 잔존 기간과 변동성에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 제안된 모델은 블랙-숄즈 방정식을 일반화하는 적분미분방정식을 도출하며, 무위험거래가 없거나 무한히 빠른 시장 반응이 있을 경우 원래의 블랙-숄즈 방정식으로 수렴한다.
• 유럽식 콜 및 풋 옵션에 대한 블랙-숄즈 가격의 첫 번째 차수 보정항이 명시적으로 도출되었으며, 이는 무위험거래 감쇠율 λ, 변동성 σ, 무위험금리 r에 의존한다.
• 유럽식 콜 옵션의 경우 보정항 C₁(t,y)는 e^(-r(T-t)) 비례하며, 정규누적분포함수 N[d₂]를 지수 감쇠 인자로 가중한 시간에 대한 적분을 포함한다.
• 유럽식 풋 옵션의 경우 보정항 P₁(t,y)는 C₁과 동일한 함수형태를 가지나 음의 부호를 가지며, 누적분포 인자로 N[-d₂]를 사용한다.
• 매우 빠른 무위험거래 시정(γ → ∞)의 극한에서 보정항은 시간에 대한 적분으로 단순화되며, 단일 지수 감쇠 인자 e^(-(λ + α²/(2σ²))τ)를 갖는다.
• λ → ∞(즉각적 시정) 또는 Σ² → 0(무위험거래 없음)일 경우 보정항이 사라지며, 이는 표준 블랙-숄즈 모델과의 일관성을 확인한다.