[논문 리뷰] Detecting independence of random vectors II. Distance multivariance and Gaussian multivariance

Björn Böttcher, Martin Keller‐Ressel외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 21.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ n \geq 2 $개의 랜덤 벡터에 대한 새로운 종속성 측정법으로 거리 다변량성(dispersion multivariance)과 총 거리 다변량성(total distance multivariance)을 도입한다. 이는 특성 함수의 가중 $ L^2 $-거리에 기반한 연속적이고 음의 정의 함수를 사용하여 거리 공분산을 다변량 환경으로 확장한 것이다. 주요 기여는 연속적 음의 정의 함수로부터 유도된 거리 행렬을 기반으로 한 유한 표본에서의 독립성에 대한 일致한 검정이다.

ABSTRACT

We introduce two new measures for the dependence of $n \ge 2$ random variables: `distance multivariance' and `total distance multivariance'. Both measures are based on the weighted $L^2$-distance of quantities related to the characteristic functions of the underlying random variables. They extend distance covariance (introduced by Szekely, Rizzo and Bakirov) and generalized distance covariance (introduced in part I) from pairs of random variables to $n$-tuplets of random variables. We show that total distance multivariance can be used to detect the independence of $n$ random variables and has a simple finite-sample representation in terms of distance matrices of the sample points, where distance is measured by a continuous negative definite function. Based on our theoretical results, we present a test for independence of multiple random vectors which is consistent against all alternatives.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 변수의 쌍에서의 거리 공분산을 $ n $-튜플의 랜덤 벡터로 확장한다.
• $ n \geq 2 $개의 랜덤 벡터의 독립성에 대한 일致한 통계적 검정을 개발한다.
• 연속적 음의 정의 함수를 사용한 거리 행렬을 기반으로 종속성 측정법의 유한 표본 표현을 제공한다.
• 다변량 종속성 탐지에 있어 특성 함수 연관 양의 가중 $ L^2 $-거리 사용에 대한 이론적 기초를 확립한다.

제안 방법

• joint 및 product 측도의 특성 함수 기반 변환 간의 가중 $ L^2 $-거리로 거리 다변량성을 정의한다.
• 전체 종속성을 캡처하기 위해 $ n $-튜플의 모든 부분집합에 대한 거리 다변량성의 합으로 총 거리 다변량성을 도입한다.
• 표본 점 간의 거리 척도를 정의하기 위해 연속적 음의 정의 함수를 사용하여, 거리 행렬을 통한 유한 표본 계산을 가능하게 한다.
• 독립성 하에서 0으로 수렴하고 종속성 하에서 0에서 벗어나는 유한한 거리 행렬 기반의 검정 통계량을 구성한다.
• 측도가 모든 형태의 종속성을 한계에서 탐지할 수 있음을 증명하여, 모든 대안에 대해 검정의 일치성을 확립한다.
• 표본 점의 거리 행렬에 대해 총 거리 다변량성의 유한 표본 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리 공분산은 쌍이 아닌 $ n \geq 2 $개의 랜덤 벡터 간의 종속성을 탐지할 수 있도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 총 거리 다변량성은 $ n $개의 랜덤 벡터의 독립성에 대해 일치한 검정을 제공하는가?
• RQ3 연속적 음의 정의 함수로부터 유도된 거리 행렬을 사용하여 종속성 측정법을 유한 표본 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ4 특성 함수와 $ L^2 $-거리의 관점에서 거리 다변량성의 이론적 기초는 무엇인가?
• RQ5 기존의 다변량 독립성 검정과 비교할 때, 제안된 측정법의 검정력은 어떠한가?

주요 결과

• 총 거리 다변량성은 $ n $개의 랜덤 벡터 간의 독립성에 대해 일치한 검정을 제공하며, 어떤 종속성 구조에서도 귀무가설을 기각할 확률이 1에 수렴한다.
• 총 거리 다변량성의 유한 표본 표현은 연속적 음의 정의 함수를 거리 척도로 사용하여 표본 점의 거리 행렬로만 표현 가능하다.
• 거리 다변량성은 쌍의 일반화된 거리 공분산을 $ n $-튜플로 확장하여 복잡한 비선형 종속성의 탐지가 가능하게 한다.
• 이 방법은 특성 함수 변환의 $ L^2 $-거리에 기반하여 이론적으로 설계되어 있어 모든 형태의 종속성에 민감하다.
• 제안된 검정은 모든 대안에 대해 일치하므로, 표본 크기가 증가함에 따라 독립성의 어떤 위반도 탐지한다.