[논문 리뷰] Determining the automorphism group of a hyperelliptic curve

Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|2003. 12. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 초타원곡선의 자기동형군을 결정하는 실용적인 방법을 제시한다. 이는 곡선 방정식의 정규 분해에서 유도된 이면체 불변량을 사용한다. 이 방법은 비선형 연립방정식을 풀고 불변량 이론적 조건을 적용하여 $A_4$, $S_4$, $A_5$까지의 자기동형군을 분류할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In this note we discuss techniques for determining the automorphism group of a genus $g$ hyperelliptic curve $\X_g$ defined over an algebraically closed field $k$ of characteristic zero. The first technique uses the classical $GL_2 (k)$-invariants of binary forms. This is a practical method for curves of small genus, but has limitations as the genus increases, due to the fact that such invariants are not known for large genus. The second approach, which uses dihedral invariants of hyperelliptic curves, is a very convenient method and works well in all genera. First we define the normal decomposition of a hyperelliptic curve with extra automorphisms. Then dihedral invariants are defined in terms of the coefficients of this normal decomposition. We define such invariants independently of the automorphism group $\Aut (\X_g)$. However, to compute such invariants the curve is required to be in its normal form. This requires solving a nonlinear system of equations. We find conditions in terms of classical invariants of binary forms for a curve to have reduced automorphism group $A_4$, $S_4$, $A_5$. As far as we are aware, such results have not appeared before in the literature.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 종수 $g \geq 2$인 초타원곡선의 자기동형군을 효과적으로 계산하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 큰 종수에 대해 알려져 있지 않은 고전적 $GL_2(k)$-불변량의 한계를 극복하기 위해, 더 일반적이고 확장 가능한 방법을 도입하기 위해.
• 초타원곡선이 축소된 자기동형군 $A_4$, $S_4$, 또는 $A_5$를 가지기 위한 필요 및 충분조건을 불변량의 관점에서 제시하여 문헌의 빈도를 메우기 위해.
• 특수군 $G$가 $A_4$, $S_4$, $A_5$ 등일 경우 초타원곡선의 모듈리 공간 내에서 $\mathcal{L}_g^G$의 명시적 계산을 가능하게 하기 위해.
• 이면체 불변량을 사용하여 곡선의 모듈리의 체를 결정하는 등의 계산 응용을 지원하기 위해.

제안 방법

• 초타원곡선의 정규 분해를 $Y^2 = F(X^s)$ 또는 $Y^2 = X \cdot F(X^s)$로 정의하며, 여기서 $s$는 그러한 분해의 최소 차수이다.
• 이면체 불변량 $u_i^j$를 정의한다. 이는 정규형의 계수에 대한 대칭 함수로서, $1 \leq i \leq \delta$, $1 \leq j \leq \lfloor (\delta+1)/2 \rfloor$ 에 대해 $u_i^j = a_j^{\delta-i+1} a_i + a_{\delta-j}^{\delta-i+1} a_{\delta-i+1}$ 로 정의된다.
• 이면체 불변량의 튜플 $\mathfrak{U}^j = (u_1^j, \dots, u_m^j)$을 사용하여 자기동형군의 구조를 특성화한다.
• 먼저 정규 분해가 존재하는지 확인하는 알고리즘을 적용한다. 만약 존재하지 않으면 자기동형군은 $\mathbb{Z}_2$이다.
• 만약 $s > 2$이고 $s$가 홀수이면 군은 $\mathbb{Z}_{2s}$이다. 그렇지 않으면 이면체 불변량을 사용하여 기존의 관계를 통해 전체 군을 식별한다.
• 계산된 불변량을 알려진 다항식 조건 $\mathcal{L}_g^G$와 매칭하여 $\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_g)$의 동형 유형을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초타원곡선 방정식의 계수에 어떤 조건이 성립하면 그 축소된 자기동형군이 $A_4$, $S_4$, 또는 $A_5$가 되는가?
• RQ2 초타원곡선의 정규 분해를 알고리즘적으로 어떻게 결정할 수 있으며, 이를 통해 자기동형군 계산을 어떻게 용이하게 할 수 있는가?
• RQ3 고전적 불변량이 확보되지 않은 경우에도 이면체 불변량을 사용하여 모든 종수에 대해 자기동형군을 분류할 수 있는가?
• RQ4 자기동형군이 $A_4$, $S_4$, $A_5$인 곡선을 특성화하는 데 필요한 다항식 조건은 불변량의 관점에서 무엇인가?
• RQ5 정규형에서 유도된 이면체 불변량을 사용하여 초타원곡선의 모듈리의 체를 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 종수 2의 경우, 정규형 $Y^2 = X^6 + a_1X^4 + a_2X^2 + 1$ 에서 이면체 불변량 $u_1 = a_1^3 + a_2^3$ 과 $u_2 = 2a_1a_2$ 는 자기동형군을 완전히 특성화한다.
• 종수 2의 경우, $\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong V_6$ 이다. 그리고 $(u_1, u_2) = (0,0)$ 이거나 $(6750, 450)$ 일 때에만 성립한다.
• 종수 2의 경우, $\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong GL_2(3)$ 이다. 그리고 $(u_1, u_2) = (-250, 50)$ 일 때에만 성립한다.
• 종수 2의 경우, $\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong D_6$ 이다. 그리고 $u_2^2 - 220u_2 - 16u_1 + 4500 = 0$ 를 만족할 때이며, $V_6$ 또는 $GL_2(3)$ 으로 감소하는 특수값은 제외한다.
• 종수 2의 경우, $\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong D_4$ 이다. 그리고 $2u_1^2 - u_2^3 = 0$ 를 만족할 때이며, $V_6$, $GL_2(3)$, 또는 다른 알려진 경우로 감소하는 값은 제외한다.
• 이 방법은 모든 종수 $g \geq 2$로 일반화 가능하며, 정규 분해와 이면체 불변량을 통해 큰 $g$에 대해서도 자기동형군 계산이 가능하다. 유일한 조건은 정규형을 위한 비선형 연립방정식이 해를 가질 수 있어야 한다는 것이다.