[논문 리뷰] Diameter Versus Certificate Complexity of Boolean Functions

Kaspars Balodis|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 7인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 특정 입력에서 0- 및 1-증명 복잡도가 모두 $ C(f)^{2-o(1)} $ 이상인 단조 부분 부울 함수를 구성한다. 이는 오랫동안 남아있던 질의 복잡도 퍼즐의 최적 지수를 달성한다. 변수 쌍의 구조적 행렬 위에서 무작위 함수를 사용하여 구성된 이 함수는 증명 복잡도가 최소 증명 크기의 제곱만큼 클 수 있음을 보여주며, 복잡도 이론에서 핵심적인 열린 문제를 해결하고 민감도, 다항식 차수, 그리고 통신 복잡도 등 여러 복잡도 측정치 간의 근사 최적 분리 결과를 암시한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a measure of Boolean functions we call diameter, that captures the relationship between certificate complexity and several other measures of Boolean functions. Our measure can be viewed as a variation on alternating number, but while alternating number can be exponentially larger than certificate complexity, we show that diameter is always upper bounded by certificate complexity. We argue that estimating diameter may help to get improved bounds on certificate complexity in terms of sensitivity, and other measures. Previous results due to Lin and Zhang [Krishnamoorthy Dinesh and Jayalal Sarma, 2018] imply that s(f) ≥ Ω(n^{1/3}) for transitive functions with constant alternating number. We improve and extend this bound and prove that s(f) ≥ √n for transitive functions with constant alternating number, as well as for transitive functions with constant diameter. {We also show that bs(f) ≥ Ω(n^{3/7}) for transitive functions under the weaker condition that the "minimum" diameter is constant.} Furthermore, we prove that the log-rank conjecture holds for functions of the form f(x ⊕ y) for functions f with diameter bounded above by a polynomial of the logarithm of the Fourier sparsity of the function f.

연구 동기 및 목표

• 질의 복잡도 이론에서 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결하기 위해, 어떤 입력 $ x \in f^{-1}(\ast) $에 대해 $ \bar{C}_0(f,x) $와 $ \bar{C}_1(f,x) $가 모두 $ C(f)^{2-o(1)} $ 이상이 되는 부분 부울 함수가 존재하는지 여부를 밝히는 것.
• 퍼즐 수식에서 최적 지수 $ \alpha = 2 $를 달성하는 함수를 구성하여, 이전에 $ \alpha = 1.5 $를 달성한 구성보다 향상된 결과를 얻는 것.
• 증명 복잡도 $ C(f) $와 다항식 차수 $ \deg(f) $ 사이의 근사 최적 분리 관계를 확립하는 것. 이는 1995년 Kushilevitz와 Nisan의 결과를 개선하는 것이다.
• 복잡도 이론의 여러 기본 문제에 대해 새로운, 날카운 하한을 유도하는 것. 이는 클리크 대 독립집합 문제와 Alon–Saks–Seymour 문제를 포함한다.

제안 방법

• 변수 수가 $ 2n^2 $인 부분 부울 함수 $ f $를 정의하며, 이는 각 쌍이 비트 두 개로 이루어진 $ n \times n $ 행렬의 형태로 구조화된다.
• $ \ell = \log n $개의 독립적인 무작위 함수 $ r_k: [n] \times [n] \to [n] $를 사용하여, 각 행 쌍에 대해 관련된 행을 정의함으로써 복잡한 종속성 구조를 만든다.
• $ f(x) = 1 $ 이 되는 조건은, 모든 열에서 일치하는 값이 있는 행 쌍이 존재하고, 그들의 관련된 행들 중 어느 것도 악성(즉, (0,0) 항목을 포함)하지 않는 경우이다.
• $ f(x) = 0 $ 이 되는 조건은, 크기가 $ (2\ell + 2)n $ 이하인 0-증명 할당이 존재하는 경우이다; 그렇지 않으면 $ f(x) = \ast $이다.
• 대각선 항목이 (1,0), 비대각선 항목이 (0,1)인 입력 $ z $를 분석하며, 이는 $ f(z) \neq 1 $임을 보장한다. 그리고 확률적 수세기와 Chernoff 한계를 사용하여, 어떤 $ \bar{0} $-증명도 크기가 크다는 것을 증명한다.
• Lemma 1을 사용하여, 랜덤 부분집합 하에서 손상되지 않은 일치하는 행 쌍의 수를 제한함으로써, 오직 $ \ell \cdot n $개의 일치 행 쌍만 손상되지 않은 채로 남아 있음을 보여주며, 이는 $ O(n) $개의 변수로 효율적인 0-증명을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 입력 $ x \in f^{-1}(\ast) $에 대해 $ \bar{C}_0(f,x) $와 $ \bar{C}_1(f,x) $가 모두 $ C(f)^{2-o(1)} $ 이상이 되는 부분 부울 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 퍼즐 수식에서 지수 $ \alpha = 2 $가 최적인지, 그리고 이를 달성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 함수는 증명 복잡도 $ C(f) $와 다항식 차수 $ \deg(f) $ 사이의 근사 최적 분리를 암시하는가?
• RQ4 이 구성은 클리크 대 독립집합 문제와 Alon–Saks–Seymour 문제에 대해 날카운 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ5 이 결과는 민감도와 다항식 차수 사이의 알려진 분리 결과를 향상시키는가?

주요 결과

• 논문은 특정 입력 $ z \in f^{-1}(\ast) $에 대해 $ \bar{C}_0(f,z) $와 $ \bar{C}_1(f,z) $가 모두 $ C(f)^{2-o(1)} $ 이상인 단조 부분 부울 함수 $ f $를 구성한다. 이는 퍼즐에서 최적 지수를 달성한다.
• 이 구성은 $ C(f) \geq \Omega(\deg(f)^{2-o(1)}) $를 암시하며, 이는 Kushilevitz와 Nisan의 1995년 결과 이후 처음으로 개선된 결과이다.
• 클리크 대 독립집합 문제에서, 비결정적 통신 복잡도에 대해 $ \Omega(\log^{2-o(1)} n) $ 비트의 근사 최적 하한을 확립한다.
• Alon–Saks–Seymour 문제에 대해서는 $ \chi(G) \geq \exp(\Omega(\log^{2-o(1)} \operatorname{bp}(H))) $의 근사 최적 하한을 도출하며, 최고의 알려진 상한과 하위항까지 일치한다.
• 결과적으로 $ C(f) \geq \Omega(s(f)^{3-o(1)}) $임을 암시하며, 이는 이전까지의 최고 분리 결과인 $ s(f)^{2.5} $를 초월한다.
• 분석 결과 $ C_1(f) = \tilde{\Omega}(n) $, $ C_0(f) = \tilde{\Omega}(n) $, $ \bar{C}_1(f,z) = n^{2-o(1)} $, $ \bar{C}_0(f,z) = n^{2-o(1)} $임을 확인하여 점점 커지는 점근적 성장 양상을 확인한다.