[논문 리뷰] Difference Sequence Spaces Derived by Generalized Weighted Mean

Harun Polat, Vatan Karakaya외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 25.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 10인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 가중 평균과 차분 연산자를 조합하여 새로운 수열 공간을 정의하고, 그들의 위상적 성질인 완비성, AK/AD 성질을 규명하며, α-, β-, γ-쌍대를 계산한다. 또한 무한행렬이 이들 공간에서 ℓ∞ 및 c로 사상되기 위한 필요 및 충분 조건을 도출하여, 새로운 수열 공간 프레임워크 내에서 행렬 변환을 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

In this work, we define new sequence spaces by combining generalized weighted mean and difference operator. Afterward, we investigate topological structure which are completeness, AK-property, AD-property. Also, we compute the alpha, beta and gamma duals, and obtain bases for these sequence spaces. Finally, necessary and sufficient conditions on an infinite matrix belonging to the classes (c(u,v,):\ell_{\infty}) and (c(u,v,):c) are established.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 가중 평균과 차분 연산자를 조합하여 새로운 수열 공간을 정의하기.
• 새로운 수열 공간에서 완비성, AK, AD 성질과 같은 위상적 성질을 조사하기.
• α-, β-, γ-쌍대를 계산하고 새로운 수열 공간의 기저를 결정하기.
• 무한행렬 A가 (c(u,v,Δ):ℓ∞) 및 (c(u,v,Δ):c) 변환 클래스에 속하기 위한 필요 및 충분 조건을 설정하기.

제안 방법

• 차분 연산자 Δ에 대해 Δx의 G(u,v)-변환이 c에 속하는 모든 수열 x의 집합으로서 수열 공간 c(u,v,Δ)를 정의한다.
• G(u,v)의 항이 k ≤ n 이면 g_{nk} = u_n v_k, 그 외에는 0인 일반화된 가중 평균 행렬 G(u,v)를 사용한다.
• 변수 변경 y_k = (1/u_k) * Σ_{i=0}^{k-1} (1/v_i - 1/v_{i+1}) x_i + (1/(u_k v_k)) x_k 를 통해 변환 기법을 적용하여 행렬 사상 표현하기.
• 변환된 급수의 수렴성과 유계성을 분석하여, 행렬 A가 c(u,v,Δ)에서 ℓ∞ 및 c로 사상되기 위한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 하인-반하흐 정리와 쌍대 이론을 활용하여 새로운 수열 공간의 α-, β-, γ-쌍대를 특성화한다.
• 표준 샤펜 기저 {e^{(k)}}를 사용하여 수열 공간 c(u,v,Δ)의 기저를 설정하고, AK 및 AD 성질을 통해 그 조밀성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 가중 평균과 차분 연산자를 조합하여 형성된 수열 공간 c(u,v,Δ)의 위상적 성질(완비성, AK, AD)은 무엇인가?
• RQ2 수열 공간 c(u,v,Δ)의 α-, β-, γ-쌍대는 무엇이며, 그 기저는 무엇인가?
• RQ3 무한행렬 A가 c(u,v,Δ)에서 ℓ∞로 사상되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 무한행렬 A가 c(u,v,Δ)에서 c로 사상되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 행렬 A의 변환 성질은 수열 공간 c(u,v,Δ)의 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 일반화된 가중 평균과 차분 연산자가 유도하는 노름에 따라 수열 공간 c(u,v,Δ)는 완비성을 가진다.
• 공간 c(u,v,Δ)는 AK 성질을 가지며, 이는 표준 기저 {e^{(k)}}가 샤펜 기저이자 φ가 c(u,v,Δ)에서 조밀하다는 것을 의미한다.
• c(u,v,Δ)의 α-쌍대는 sup_n Σ_k |Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk}| < ∞ 를 만족하는 모든 수열 a로 구성된다.
• c(u,v,Δ)의 β-쌍대는 모든 y ∈ c(u,v,Δ)에 대해 Σ_k (Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk}) y_k 의 수렴성을 만족하는 것으로 특성화된다.
• c(u,v,Δ)의 γ-쌍대는 sup_n |Σ_k (Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk})| < ∞ 를 만족하는 모든 수열 a로 구성된다.
• 행렬 A가 (c(u,v,Δ):ℓ∞)에 속하는 것은 조건 (4.1)–(4.4)가 동시에 성립할 때이고, 이는 행렬의 행합 유계성, 급수 수렴성, 변환 계수의 균일 유계성으로 구성된다.