[논문 리뷰] Differentiable Cohomology of Gauge Groups

Jean-Luc Brylinski|ArXiv.org|2000. 11. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 분류공간 $BG$ 위의 단체층에 기반하여, 특히 게이지 군에 대해 복소수 곱셈군 $\mathbb{C}^*$를 계수로 하는 미분가능한 코homology 이론을 도입한다. 이 이론은 미분가능한 코homology와 델리네 코homology 사이의 연결고리를 설정하고, 잘린 드 라함 코homology를 통해 명시적인 국소 코chain을 구성하며, 유도된 리 대수 코chain이 카크-무디 및 보트-슐만-스타셰프 코chain을 일반화함으로써 2차 특성류에 대한 해석적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We give a definition of differentiable cohomology of a Lie group G (possibly infinite-dimensional) with coefficients in any abelian Lie group. This differentiable cohomology maps both to the cohomology of the group made discrete and to Lie algebra cohomology. We show that the secondary characteristic classes of Beilinson lead to differentiable cohomology classes with coefficients in C*. These may be viewed as an enrichment of the Chern-Simons differential forms. By transgression, classes in differentiable cohomology of a Lie group G lead to differentiable cohomology classes for gauge groups Map(M,G). These classes generalize the central extensions of loop groups. We also discuss holomorphic cohomology of complex Lie groups as the natural place to construct secondary classes. We present several conjectures relating the above cohomology classes to the differential forms of Bott-Shulman-Stasheff.

연구 동기 및 목표

• 아벨 리 군 $A$를 계수로 하는 리 군, 특히 $\mathbb{C}^*$를 갖는 중심 확장을 분류하고 기존의 특성류를 일반화하는, 미분가능한 코homology 이론을 개발한다.
• 복소화된 게이지 군 위의 미분가능한 코homology 클래스에 대해 해석적 프레임워크를 구축하고, 이를 베일린슨의 특성류와 델리네 코homology와 연결한다.
• 델리네 코hom로의 축약을 통해, 항등원 근처에서의 명시적인 국소 군 코chain을 구성한다.
• 이러한 클래스로부터 유도된 리 대수 코chain이 카크-무디 2-코chain과 티산, 루다-퀴렌, 페이긴의 고차원 일반화를 일반화함을 증명한다.
• 전이와 델리네 코homology를 사용하여 복소다양체에 포함된 경계를 갖는 다양체 위의 게이지 이론에서의 상호법칙을 해석적 맥락에서 증명함으로써 그 의미를 명확히 한다.

제안 방법

• $H^l_{\text{diff}}(G,A)$를 $G^p$ 위의 미분 가능 $A$-값 함수의 단체층 $\underline{A}$를 갖는 단체다양체 $BG$ 위의 초코homology로 정의한다.
• 지수 정렬을 사용하여 $\mathbb{Z}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^*$ 계수의 코homology를 연결하고, 컴acts $G$에 대해 $H^l_{\text{diff}}(G,\mathbb{C}^*)$를 $H^{l+1}(G,\mathbb{Z})$로 계산할 수 있도록 한다.
• 베일린슨의 특성류를 이용하여 $H^{2p}(BG,\mathbb{Z})$의 특성류에 대응하는 $H^{2p-1}_{\text{hol}}(G_\mathbb{C},\mathbb{C}^*)$의 해석적 코homology 클래스를 구성한다.
• 델리네 코hom로의 드 라함 부분에 집중하여 항등원 근처에서의 구성에 국한하고, $G^q$ 위의 형식 가중치 $(\omega_1, \dots, \omega_p)$로 표현되는 잘린 드 라함 코homology 클래스로 축약한다.
• 국소 군 코chain을 미분함으로써 리 대수 코chain을 도출하고, 미분형식의 외적곱과 리 대수값 함수의 도함수를 포함하는 명시적인 공식을 얻는다.
• 델리네 코hom로의 전이와 해석적 전이 사상으로, 복소다양체에 포함된 경계를 갖는 다양체 위의 게이지 군에 대해 상호법칙을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게이지 군에 대해 $\mathbb{C}^*$ 계수를 갖는 미분가능한 코homology를 어떻게 정의할 수 있을까? 이는 중심 확장을 분류하고 기존의 특성류를 일반화할 수 있어야 한다.
• RQ2 미분가능한 코homology 클래스와 델리네 코hom로의 베일린슨 특성류 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 잘린 드 라함 코homology를 사용하여 항등원 근처에서 명시적인 국소 군 코chain을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 클래스로부터 유도된 리 대수 코chain은 카크-무디 및 고차원 보트-슐만-스타셰프 코chain과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 게이지 이론에서의 상호법칙의 해석적 기원은 무엇이며, 델리네 코hom로의 전이를 통해 어떻게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 콤팩트 리 군 $G$에 대해 $H^l_{\text{diff}}(G,\mathbb{C}^*) \cong H^{l+1}(G,\mathbb{Z})$이며, 이는 $\mathbb{C}^*$ 계수의 미분가능한 코homology를 직접 계산할 수 있음을 보여준다.
• 이 구성은 $H^{2p}(BG,\mathbb{Z})$의 특성류에 대응하는 $H^{2p-1}_{\text{hol}}(G_\mathbb{C},\mathbb{C}^*)$의 해석적 코homology 클래스를 제공하며, 키퍼-시몬스 클래스를 일반화한다.
• 특히 $k = p-1$인 경우, 유도된 리 대수 코chain은 $c(\xi_1, \dots, \xi_p) = \int_X \omega_p(\xi_1, d\xi_2, \dots, d\xi_p)$로 주어지며, 이는 카크-무디 코심의 직접적인 고차원 일반화이다.
• 델리네 클래스의 드 라함 부분이 보트-슐만-스타셰프 형식과 일치한다는 추측은 항등원 근처에서의 명시적 국소 코chain 공식을 암시한다.
• 미분을 통해 얻어진 리 대수 코chain은 $\xi \mapsto \int_X \alpha$의 반대칭화이며, 여기서 $\alpha$는 $\omega_m$과 $\xi_i$의 도함수로부터 만든 $k$-형식이다.
• 델리네 코hom로를 통한 구성은 상호법칙을 자연스럽게 제공하며, 이는 해석적 맥락에서 증명되고 이전의 루프 군 및 게이지 군에 관한 결과를 명확히 한다.