[논문 리뷰] Differentiable mappings between spaces of sections

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\sigma$-콤���하고 유한차원인 다양체 위의 $C^r$-벡터 번들의 단면 공간 간의 푸시포워드 사상의 미분 가능성에 대해 확립하며, 자연스러운 조건 하에서 $C^r$-단면(콤���된 지원이 있거나 없거나)의 푸시포워드가 $C^k$-계열임을 보여준다. 핵심 기여는 $f$가 섬유를 유지하는 미분 가능 함수일 경우 $C^r(X,f)$와 $\mathcal{D}^r(X,f)$가 매끄럽거나 $\mathbb{K}$-해석적 사상임을 증명함으로써, 임의의 미분 가능 또는 $\mathbb{K}$-해석적 리 군 $G$에 대해 $C^r(X,G)$에 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$를 기본 공간으로 하는 매끄러운 리 군 구조를 부여할 수 있음을 보장한다. 이 결과들은 유한차원 리 이론을 무한차원 섬유와 비콤팩트 기저로 일반화한다.

ABSTRACT

In this work, various versions of the so-called Omega-Lemma are provided, which ensure differentiability properties of pushforwrds between spaces of C^r-sections (or compactly supported C^r-sections) in vector bundles over finite-dimensional base manifolds whose fibres are (possibly infinite-dimensional) locally convex spaces. Applications are given, including the proof of continuity for some natural module multiplications on spaces of sections and the construction of certain infinite-dimensional Lie groups of Lie group-valued maps.

연구 동기 및 목표

• 유한차원이고 $\sigma$-콤팩트인 다양체 위의 $C^r$-벡터 번들의 단면 공간 간 사상의 미분 가능성 성질을 확립한다.
• 모든 $C^r$-벡터 번들의 $E\to X$에 대해 $C^r(X,E)$와 $\mathcal{D}^r(X,E)$가 각각 $C^r(X)$와 $\mathcal{D}^r(X)$ 위의 위상 모듈로 됨을 보인다.
• 임의의 미분 가능 또는 $\mathbb{K}$-해석적 리 군 $G$에 대해 $C^r(X,G)$에 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$를 기본 공간으로 하는 매끄럽거나 $\mathbb{K}$-해석적 리 군 구조를 구축한다.
• 켈러의 $C^r_c$-해석학을 사용하여 콤팩트 지지 단면의 푸시포워드 결과를 비콤팩트 기저와 무한차원 섬유로 일반화한다.

제안 방법

• 함수 공간 간 사상의 미분 가능성을 정의하기 위해 마이칼-바스타니 해석학(켈러의 $C^r_c$-이론)을 사용한다.
• 국소적 표준형과 분할 단위를 적용하여 단면 공간에 위상 구조를 정의하고, 전반적 문제를 국소 문제로 환원한다.
• 국소 좌표와 반무한 노름을 이용해 $f\circ\sigma$ 가 $\sigma$ 에 따라 어떻게 의존하는지 분석함으로써 푸시포워드 $C^r(X,f)$ 가 $C^k$-미분 가능함을 증명한다.
• 국소 차트와 이웃 영역을 사용하여 테스트 함수 위의 관련 사상 $h_*$ 가 미분 가능함을 보여, $\mathcal{D}^r(X,f)$ 가 매끄럽거나 $\mathbb{K}$-해석적임을 증명한다.
• 좌측 이동과 공역 변환을 사용하여 주어진 단면 $\gamma$ 근처에서 $C^r(X,f)$ 의 미분 가능성 문제를 영점 근처에서의 관련 사상 $h_*$ 의 미분 가능성 문제로 환원한다.
• $C^0$-벡터 번들을 $\sigma$-콤팩트이고 국소 콤팩트인 공간 위에 적용하기 위해, 차트를 직접적으로 컴acts부분집합 위의 최댓값으로 대체한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸시포워드 사상 $C^r(X,f)$ 가 마이칼-바스타니 의미에서 미분 가능해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 리 군 $G$ 에로의 $C^r$-사상 공간 $C^r(X,G)$ 는 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$ 를 기본 공간으로 하여 매끄럽거나 $\mathbb{K}$-해석적 리 군 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 사상 $\mathcal{D}^r(X,f)$ 의 미분 가능성은 $f$ 의 정의도메인에 어떻게 의존하는가? 특히 $f$ 가 영점 섬유 근처에서만 정의되어 있을 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 무한차원 리 이론의 맥락에서 $C^r(X,E)$ 가 $C^r(X)$ 위의 모듈로 작용하는 데서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 결과들은 다양체를 초월하여 $\sigma$-콤팩트이고 국소 콤팩트인 공간으로 확장될 수 있는가? 이 경우 차트 대신 직접적인 위상 추정을 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 섬유를 유지하는 $C^r$-사상 $f$ 에 대해, $X$ 가 $\sigma$-콤팩트이고 유한차원일 경우 푸시포워드 사상 $C^r(X,f)$ 는 $C^k$-계열이다.
• 콤팩트 지지 $C^r$-단면의 공간 $\mathcal{D}^r(X,E)$ 는 위상 대수 $\mathcal{D}^r(X)$ 위의 위상 모듈로 된다.
• 모든 $C^r$-벡터 번들의 $E\to X$ 에 대해 $C^r(X,E)$ 는 위상 $C^r(X)$-모듈로 된다.
• 모든 미분 가능 또는 $\mathbb{K}$-해석적 리 군 $G$ 에 대해 군 $C^r(X,G)$ 는 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$ 를 기본 공간으로 하여 매끄럽거나 $\mathbb{K}$-해석적 리 군 구조를 가진다.
• 사상 $\mathcal{D}^r(X,f)$ 는 $f$ 가 영점 섬유 근처의 이웃에서 정의되고, 미분 가능하거나 $\mathbb{K}$-해석적일 경우 매끄럽거나 $\mathbb{K}$-해석적이다.
• $C^0$-벡터 번들을 $\sigma$-콤팩트이고 국소 콤팩트인 공간 위에 적용할 경우, 차트를 직접 컴팩트 부분집합 위의 최댓값으로 대체함으로써 미분 가능성은 유지되며 결과는 일반화된다.