[논문 리뷰] Differential Operators and Families of Automorphic Forms on Unitary Groups of Arbitrary Signature

Ellen Eischen, Jessica Fintzen외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 서명을 가진 유니타리 군 위에서 p-진 미분 연산자와 자동형식의 p-진 가수열을 개발하며, q-전개의 부재를 메우기 위해 Serre–Tate 전개를 사용한다. p-진 자동형식의 값을 갖는 p-진 측도를 구성하고, Eisenstein 급수의 보간을 증명함으로써 이전의 작업을 (n,n) 서명이 아닌 경우로 확장하며, 새로운 p-진 L-함수의 구축을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the 1970's, Serre exploited congruences between $q$-expansion coefficients of Eisenstein series to produce $p$-adic families of Eisenstein series and, in turn, $p$-adic zeta functions. Partly through integration with more recent machinery, including Katz's approach to $p$-adic differential operators, his strategy has influenced four decades of developments. Prior papers employing Katz's and Serre's ideas exploiting differential operators and congruences to produce families of automorphic forms rely crucially on $q$-expansions of automorphic forms. The overarching goal of the present paper is to adapt the strategy to automorphic forms on unitary groups, which lack $q$-expansions when the signature is of the form $(a, b)$, $a eq b$. In particular, this paper completely removes the restrictions on the signature present in prior work. As intermediate steps, we achieve two key objectives. First, partly by carefully analyzing the action of the Young symmetrizer on Serre--Tate expansions, we explicitly describe the action of differential operators on the Serre--Tate expansions of automorphic forms on unitary groups of arbitrary signature. As a direct consequence, for each unitary group, we obtain congruences and families analogous to those studied by Katz and Serre. Second, via a novel lifting argument, we construct a $p$-adic measure taking values in the space of $p$-adic automorphic forms on unitary groups of any prescribed signature. We relate the values of this measure to an explicit $p$-adic family of Eisenstein series. One application of our results is to the recently completed construction of $p$-adic $L$-functions for unitary groups by the first named author, Harris, Li, and Skinner.

연구 동기 및 목표

• Serre와 Katz의 방법을 (n,n) 서명 사례를 넘어서 확장하여, 임의의 서명을 가진 경우에도 p-진 자동형식의 가수열을 구성하기 위한 합동과 미분 연산자의 전략을 적용한다.
• q-전개의 부재를 보완하기 위해, 비-(n,n) 서명을 가진 유니타리 군에서 Serre–Tate 전개를 대체 수 Mittel로 도입한다.
• 임의의 서명을 가진 유니타리 군에 대해 Eisenstein 급수를 보간하는 p-진 측도를 p-진 자동형식의 값으로 구성한다.
• 최근 [EHLS16]에서 완료된 바로 그 결과를 바탕으로, 유니타리 군에 대한 p-진 L-함수의 구축을 위한 기초 도구를 제공한다.
• Serre–Tate 좌표와 미분 연산자를 통해 p-진 q-전개 원리를 유니타리 군으로 일반화한다.

제안 방법

• 자동형식에 대한 q-전개 대신, 자연적 좌표를 갖는 일반적인 CM 점에서의 Serre–Tate 전개를 사용하여 유니타리 군 위의 자동형식에 대해 적용한다.
• Gauss–Manin 접속과 Kodaira–Spencer 사상에 의해 p-진 미분 연산자의 Serre–Tate 전개 위에서의 작용을 분석한다.
• 새로운 리프팅 추론을 적용하여, G′ 위의 p-진 자동형식 값으로 갖는 Xp × T(Zp) 위의 p-진 측도를 구성한다.
• 정수성과 보간을 보장하기 위해, 추상적인 Kummer 합동을 사용하여 p-진 q-전개 원리를 Serre–Tate 전개에 적응시킨다.
• 미분 연산자의 영향을 최고 무게 표현으로의 사영을 통해 정의함으로써 자동형식의 보간을 정의한다.
• 헤케 특성과 p-진 특성에 의해 측도의 적분과 스케일링된 Eisenstein 급수 사이의 대응을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q-전개가 부재할 경우, 임의의 서명을 가진 유니타리 군 위에서 자동형식에 대해 p-진 미분 연산자를 어떻게 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ2 임의의 서명 (a,b)를 가진 유니타리 군에 대해, 합동과 p-진 가수열을 구성할 수 있는가? (특히 a ≠ b 인 경우)
• RQ3 Serre–Tate 전개가 보간과 미분 연산자의 작용을 대체하기 위해 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 임의의 서명에 대해 p-진 가수열에서 Eisenstein 급수를 보간하는 p-진 측도는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 Serre–Tate 좌표와 미분 연산자를 사용할 때, p-진 q-전개 원리는 어느 정도까지 유니타리 군으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 서명을 가진 유니타리 군 위에서 자동형식의 Serre–Tate 전개 위에 p-진 미분 연산자의 작용을 명시적으로 묘사한다.
• G′ 위의 p-진 자동형식 공간 값으로 갖는 Xp × T(Zp) 위의 p-진 측도 µG′를 구성하였으며, 이는 ∫Xp×T(Zp) ˜χψκµG′ = resΘκGk,ν,Fχu,ψ 를 만족한다.
• 순수한 H′-대칭 무게 κ에 대해, 측도의 적분은 정확히 Eisenstein 급수 Gk,ν,Fχu,ψ,κ 를 회복한다.
• 이제까지 (n,n) 서명에 대해 얻어진 결과를 임의의 서명으로 일반화하여, 이전의 제약 조건을 제거한다.
• 이 방법은 최고 무게 성분으로의 사영과 미분 연산자를 통해, 주기까지의 정규화를 고려하여 일반적인 CM 점에서 자동형식의 값의 p-진 보간을 가능하게 한다.
• 최근 [EHLS16]에서 완료된 유니타리 군에 대한 p-진 L-함수의 구축을 위한 핵심 기술적 기초를 제공한다.