[논문 리뷰] Diffusivity of Rescaled Random Polymer in Random Environment in dimensions 1 and 2

Zi Sheng Feng|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 30.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원에서 스케일링된 무작위 고리가 무작위 환경에서 확산 행동을 보임을 확립한다. 중간 스케일링 영역—d=1일 때 $\beta = o(N^{-1/4})$, d=2일 때 $\beta = o((\log N)^{-1/2})$—에서 분할 함수의 두 번째 모멘트와 고리 이동의 두 번째 모멘트를 분석함으로써, $N \to \infty$일 때 스케일링된 평균 제곱 이동이 확률적으로 1로 수렴함을 증명한다. 이는 쿼런스된 불순물이 존재함에도 불구하고 확산 스케일링이 성립함을 확인한다.

ABSTRACT

We show random polymer is diffusive in dimensions 1 and 2 in probability in an intermediate scaling regime. The scale is $β= o(N^{-1/4})$ in d=1 and $β=o((\log N)^{-1/2})$ in $d=2$ as $N ightarrow \infty$.

연구 동기 및 목표

• 낮은 차원(1 및 2)에서 방향성 고리의 확산 행동을 확립하기 위해.
• 시간 $N$에 따라 느리게 감쇠하는 불순물 강도 $c_{N,d}$의 스케일링 영역을 분석하기 위해, 특히 $c_{N,1} = N^{-(1/4 + \epsilon)}$ 및 $c_{N,2} = \log N^{-(1/2 + \epsilon)}$를 고려하기 위해.
• 스케일링된 평균 제곱 이동 $\langle \omega(N)^2 \rangle_{N,h} / N \to 1$ 이며, $N \to \infty$일 때 확률적으로 수렴함을 보여주기 위해.
• 수렴의 확률적 성립을 확보하기 위해 분할 함수 $Z(N)$과 가중 이동 $K(N)$의 두 번째 모멘트를 제어하기 위해.

제안 방법

• 고리 측도를 $n$-점 상호작용 기여도로 분해함으로써 분할 함수 $Z(N)$과 가중 이동 $K(N)$의 두 번째 모멘트 전개를 사용하기 위해.
• i.i.d. 환경 $h(n,x) = \pm 1$의 독립성과 평균이 0임을 이용하여, $E_Q[Z(N)^2]$ 및 $E_Q[K(N)^2]$에서 교차항이 상호작용 시간에 경로가 일치하지 않는 한 소멸함을 보여주기 위해.
• d=1 및 d=2에서의 귀환 확률 $p_0(2k,0)$에 대한 추정—각각 $\sim k^{-1/2}$ 및 $\sim k^{-1}$—을 이용하여, $c_{N,d}^2 N^{1/2}$ 및 $c_{N,d}^2 \log N$에 따라 두 번째 모멘트를 유계화하기 위해.
• 일반적인 단일 위치 기여도의 합을 중심화하기 위해 정규화 인자 $a_{N,d}$를 도입하여, Lindeberg-Feller 중심극한정리의 적용을 가능하게 하여 정규분포로의 수렴을 보여주기 위해.
• Chebyshev의 부등식을 사용하여, 스케일링 후 나머지 항 $R_N$이 확률적으로 0으로 수렴함을 증명함으로써 주요 기여가 선형 항에서 비롯됨을 보장하기 위해.
• Lindeberg-Feller 정리를 적용하여 스케일링된 단일 위치 기여도의 합이 정규분포로 수렴함을 확인하고, 이와 나머지 항의 소멸성을 결합하여 주요 결과를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 및 2D에서 무작위 환경의 방향성 고리의 평균 제곱 이동이 중간 불순물 강도 하에서 확산 스케일링 $N$으로 수렴하는가?
• RQ2 낮은 차원에서의 확산 행동을 보장하기 위해 불순물 강도 $c_{N,d}$의 임계 스케일링은 무엇인가?
• RQ3 이 스케일링 하에서 분할 함수와 가중 이동의 두 번째 모멘트를 제어할 수 있는가? 이를 통해 확률적 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ4 환경의 분산과 경로가 겹치는 확률에 대한 의존성이 확산 극한에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이 스케일링 영역 하에서 $N$이 매우 클 때, 단일 위치를 초월한 고차 상호작용 기여는 무시할 만큼 작게 간주될 수 있는가?

주요 결과

• 지정된 스케일링 하에서 $d=1$ 및 $d=2$ 모두에서 스케일링된 평균 제곱 이동 $\langle \omega(N)^2 \rangle_{N,h} / N \to 1$ 이며, $N \to \infty$일 때 확률적으로 수렴한다.
• d=1일 때, 분할 함수의 두 번째 모멘트는 $E_Q[Z(N)^2] \leq \sum_{n=0}^N (c_1 c_{N,1}^2 N^{1/2})^n$를 만족하며, $K(N)$에 대해서도 유사한 유계가 존재하며 추가로 $N^2$ 요인이 포함된다.
• d=2일 때, $Z(N)$의 두 번째 모멘트는 $\sum_{n=0}^N (c_2 c_{N,2}^2 \log N)^n$에 의해 유계화되며, $K(N)$에 대해서도 유사한 제어가 가능하다.
• 분할 함수 $Z(N)$의 전개에서 선형 항인 $\sum_{k=1}^N a_{N,d} f_k$는 $a_{N,d} = (c_{N,d}^2 \cdot \text{스케일링})^{-1/2}$일 때 정규분포로 수렴하는 분포를 가진다. 이 스케일링은 $c_{N,d}$의 감쇠 속도와 일치한다.
• 스케일링 후 나머지 항 $R_N$은 $E_Q[(a_{N,d} R_N)^2] \to 0$이므로 확률적으로 0으로 수렴하며, 이는 선형 항이 극한에서 지배적임을 보장한다.
• 결과는 $d=1$에서 $c_{N,1}^2 N^{1/2} \to 0$ 및 $d=2$에서 $c_{N,2}^2 \log N \to 0$인 중간 스케일링 하에서 성립하며, 이는 확산 행동에 대한 영역의 날카로움을 확인한다.