[논문 리뷰] Dimension Theory Approach to the Complexity of Almost Periodic Trajectories

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 포함 길이의 渐近적 행동에서의 지수로 정의된, 균일하게 거의 주기 함수에 대한 새로운 차원 유사 특성인 디오판틴 차원을 소개한다. 이 측정치와 거의 주기 함수의 재귀성 및 에르고딕 성질 사이의 연관성을 규명하며, 준주기 함수에 대한 추정치를 제공하고, 진화 방정식에서 거의 주기적 궤적을 분석하는 방법을 제시하며, 크로네커 정리의 효과적 형태와의 연결을 맺는다.

ABSTRACT

We introduce and study a dimensional-like characteristic of an uniformly almost periodic function, which we call the Diophantine dimension. By definition, it is the exponent in the asymptotic behavior of the inclusio length. Diophantine dimension is connected with recurrent and ergodic properties of an almost periodic function. We get some estimates of the Diophantine dimension for certain quasiperiodic functions and present methods to investigate such a characteristic for almost periodic trajectories of evolution equations. Also we discuss the link between the presented approach and the so called effective versions of the Kronecker theorem.

연구 동기 및 목표

• 차원 이론에 기반한 균일하게 거의 주기 함수의 복잡성 신뢰도를 새롭게 개발하기 위해.
• 포함 길이의 渐近적 행동을 지배하는 지수로서 디오판틴 차원을 정의하고 분석하기 위해.
• 디오판틴 차원과 거의 주기 함수의 재귀성 및 에르고딕 성질 사이의 관계를 연결하기 위해.
• 준주기 함수에서 디오판틴 차원을 추정하기 위한 방법을 제공하기 위해.
• 제안된 접근법과 디오판틴 추정에서 크로네커 정리의 효과적 형태 사이의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 거의 주기 함수의 포함 길이의 渐近적 성장률에서의 지수로서 디오판틴 차원을 정의하기 위해.
• 차원 이론과 디오판틴 추정의 도구를 사용하여 거의 주기 궤적의 구조와 복잡성 분석하기 위해.
• 준주기 함수에 이 프레임워크를 적용하여 디오판틴 차원의 명시적 추정치 유도하기 위해.
• 디오판틴 차원의 관점에서 진화 방정식의 거의 주기적 해의 행동 연구하기 위해.
• 디오판틴 차원과 동시에 디오판틴 추정에서 크로네커 정리의 효과적 형태 사이의 이론적 연결을 수립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 거의 주기 함수에 대해 복잡성을 정량화할 수 있는 차원 유사 특성을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 디오판틴 차원은 거의 주기 함수의 재귀성 또는 에르고딕 성질과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 특정 준주기 함수 클래스에서 디오판틴 차원은 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ4 디오판틴 차원은 효과적 크로네커 정리의 형태와 어떤 방식으로 관련되어 있는가?
• RQ5 디오판틴 차원은 진화 방정식의 거의 주기적 궤적 분석에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 디오판틴 차원은 거의 주기 함수의 포함 길이의 渐近적 행동에서의 지수로 공식적으로 정의된다.
• 디오판틴 차원이 거의 주기 함수의 재귀성 및 에르고딕 성질과 관련이 있음이 입증된다.
• 일부 준주기 함수에 대해 디오판틴 차원의 명시적 추정치가 도출된다.
• 이 접근법은 차원 이론과 디오판틴 추정 기법을 활용하여 진화 방정식에서 거의 주기적 궤적을 분석할 수 있는 프레임워크를 제공한다.
• 논문은 디오판틴 차원과 디오판틴 추정에서 크로네커 정리의 효과적 형태 사이의 이론적 연결을 수립한다.