[论文解读] Dimensions of irreducible modules over W-algebras and Goldie ranks

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文计算了半单李代数的普遍包丛代数中素理想之Goldie秩，并在积分中心特征下，证明其与有限维不可约W代数模的维数相等，前提是关于一维W代数模的一个猜想成立。关键贡献在于构造了一个广义Soergel函子，为W代数的O范畴提供了Kazhdan-Lusztig型字符公式，从而实现显式维数计算，并完成了Joseph在经典类型中对积分中心特征下Goldie秩的程序。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to compute two related numerical invariants of a primitive ideal in the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra. The first one, very classical, is the Goldie rank of an ideal. The second one is the dimension of an irreducible module corresponding to this ideal over an appropriate finite W-algebra. We concentrate on the integral central character case. We prove, modulo a conjecture, that in this case the two are equal. Also, modulo the same conjecture, we compute certain scale factors introduced by Joseph. Our conjecture asserts that there is a one-dimensional module over the W-algebra with certain additional properties. The conjecture is proved for the classical types. This completes a program of computing Goldie ranks proposed by Joseph in the 80's. We also provide an essentially Kazhdan-Lusztig type formula for computing the characters of the irreducibles in the Brundan-Goodwin-Kleshchev category O for a W-algebra again under the assumption that the central character is integral. The formula is based on a certain functor (a generalized Soegel functor) from an appropriate parabolic category O to the W-algebra category O. We prove a number of properties of this functor including the quotient property and the double centralizer property. We develop several topics related to our generalized Soergel functor. For example, we discuss its analog for the category of Harish-Chandra bimodules. We also discuss generalizations to the case of categories O over Dixmier algebras. The most interesting example of this situation comes from the theory of quantum groups: we prove that an algebra that is basically Luszitg's form of a quantum group at a root of unity is a Dixmier algebra. For this we check that the quantum Frobenius epimorphism splits.

研究动机与目标

• 计算半单李代数的普遍包丛代数中素理想之Goldie秩，针对积分中心特征。
• 在关于一维W代数模的猜想下，建立Goldie秩与有限维不可约W代数模维数之间的相等性。
• 构建一个广义Soergel函子，为W代数的O范畴提供Kazhdan-Lusztig型字符公式。
• 完成Joseph在积分中心特征下对Goldie秩的程序，且在经典类型中给出证明。
• 将框架扩展至Dixmier代数与单位根处的量子群，证明某些量子群商是Dixmier代数。

提出的方法

• 本文通过完成与对偶性定义的函子$\bullet_{\dagger,e}$，从一个抛物型O范畴构造了一个广义Soergel函子$\mathbb{V}$，映射至W代数的O范畴。
• 证明广义Soergel函子$\mathbb{V}$满足商性质、双重中心化性质以及0-忠实性，从而确保其保持范畴的关键结构特征。
• 关键技术工具是W代数与Harish-Chandra双模的完成，其中函子$\bullet_{\dagger,e}$通过选择嵌入$\iota: V \to \tilde{I}_\chi$来定义。
• 本文证明函子$\mathbb{V}$在某些子范畴之间诱导出等价，并允许通过Kazhdan-Lusztig型公式计算简单$\mathcal{W}$-模的字符。
• 通过证明量子Frobenius满同态分裂且$\mathcal{A}$在$\iota(\mathcal{U})$上自由，验证了在单位根处的量子群商$\mathcal{A}$是Dixmier代数。
• 主要结果的证明依赖于存在一个具有特定性质的一维$\mathcal{W}$-模的猜想，该猜想已在经典类型中得到验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在积分中心特征下，$\mathcal{U}({\mathfrak{g}})$中素理想的Goldie秩是否等于相应有限维不可约$\mathcal{W}$-模的维数？
• RQ2 能否构造一个广义Soergel函子，为$\mathcal{W}$-代数的O范畴提供Kazhdan-Lusztig型字符公式？
• RQ3 在W代数与Dixmier代数的背景下，广义Soergel函子是否满足双重中心化性质？
• RQ4 代数$\mathcal{A}$（Lusztig量子群在单位根处的适度商）是否为Dixmier代数？
• RQ5 存在一个具有特定性质的一维$\mathcal{W}$-模，是否意味着Goldie秩与模维数相等？

主要发现

• 在关于一维$\mathcal{W}$-模的猜想下，$\mathcal{U}({\mathfrak{g}})$中素理想的Goldie秩等于相应有限维不可约W代数模的维数。
• 该猜想已在所有经典类型中得到证明，从而在这些情形下确认了该等式。
• 广义Soergel函子$\mathbb{V}$满足双重中心化性质与商性质，确保其在范畴之间诱导出行为良好的等价。
• 在Brundan-Goodwin-Kleshchev的O范畴中，为简单$\mathcal{W}$-模建立了Kazhdan-Lusztig型字符公式，从而实现了显式维数计算。
• 证明了代数$\mathcal{A}$（Lusztig量子群在单位根处的商）是Dixmier代数，其中$\mathcal{A}$在$\iota(\mathcal{U})$上自由，且量子Frobenius满同态可分裂。
• 主要结果的证明依赖于存在一个具有特定性质的一维$\mathcal{W}$-模，该结论已在经典类型中得到验证，从而完成了Joseph对积分中心特征下Goldie秩的程序。