[论文解读] Dirac fundamental quantization of gauge theories is natural way of reference frames in modern physics

Lantsman, Leonid|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2006

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文主张狄拉克对规范场论的根本性量子化是现代物理学中参考系的自然框架，证明其在保持显式洛伦兹协变性和研究束缚态与禁闭方面优于法捷耶夫-波波夫的启发式方法。通过闵可夫斯基非阿贝尔希格斯模型，本文表明狄拉克方法通过约束壳还原和非局域狄拉克变量，可得到 S-协变、G-不变的可观测量，提供了比 S-不变但框架隐含的 FP 方法更全面的基础。

ABSTRACT

We analyse two principal approaches to the quantization of physical models worked out to date. There are the Faddeev-Popov "heuristic" approach, based on fixing a gauge in the FP path integrals formalism, and the "fundamental" approach by Dirac based on the constraint-shell reduction of Hamiltonians with deleting unphysical variables. The relativistic invariant FP "heuristic" approach deals with the enough small class of problems associated with S-matrices squared taking on-shell of quantum fields. On the other hand, the "fundamental" quantization approach by Dirac involves the manifest relativistic covariance of quantum fields survived the constraint-shell reduction of Hamiltonians. This allows to apply this approach for the more broad class of problems than studying S-matrices. Researches about various bound states in QED and QCD are patterns of such applications. In the present study, with the example of the Dirac "fundamental" quantization of the Minkowskian non-Abelian Higgs model (us studied in its historical retrospective), we make sure in obvious advantages of this quantization approach. The arguments in favour of the Dirac fundamental quantization of physical model as a way of Einstein and Galilei relativity in modern physic will be presented.

研究动机与目标

• 重新评估狄拉克根本性量子化在现代理论物理中的基础作用，与占主导地位的法捷耶夫-波波夫启发式方法进行对比。
• 证明狄拉克方法通过约束壳还原和非局域狄拉克变量，保持显式洛伦兹协变性（S-协变性）和规范不变性（G-不变性）。
• 论证法捷耶夫-波波夫方法虽然在 S-矩阵计算中有效，但不足以研究 QED 和 QCD 中的束缚态、强子化和禁闭。
• 表明通过狄拉克方法对闵可夫斯基希格斯模型进行量子化，可自然地包含 BPS 单极子解和离散的真空几何，为质量间隙问题提供一条路径。
• 将狄拉克方法定位为爱因斯坦和伽利略相对论的历史与逻辑上的延续，为量子场论中的物理参考系框架提供有意义的框架。

提出的方法

• 将狄拉克的约束壳还原应用于规范场论的哈密顿形式，通过一阶约束消除非物理自由度。
• 构造规范场的 G-不变、非局域泛函（狄拉克变量），编码物理可观测量，从一开始就确保规范不变性。
• 证明作用于 G-不变可观测量上的庞加莱生成元的 S-协变性，建立隐含的洛伦兹协变性。
• 以闵可夫斯基非阿贝尔希格斯模型为具体实例，分析 BPS 单极子解和由此产生的离散真空几何。
• 将有效希格斯质量 $ m/\sqrt{\lambda} $ 与重整化群流相关联，将其视为距离 $ r $ 的连续函数，并将其与红外和紫外极限联系起来。
• 以相关函数衰减的形式表述质量间隙问题：当 $ |x-y| $ 较大时，有 $ |\langle \Omega, \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(y) \Omega \rangle| \leq \exp(-C|x-y|) $，并表明狄拉克量子化可通过真空结构实现其分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何法捷耶夫-波波夫启发式量子化方法不足以研究 QED 和 QCD 中的束缚态与禁闭？
• RQ2 狄拉克的根本性量子化如何与 FP 方法相比，保持显式洛伦兹协变性和规范不变性？
• RQ3 非局域狄拉克变量在构建规范场论中 S-协变、G-不变可观测量的过程中起什么作用？
• RQ4 通过狄拉克方法对闵可夫斯基希格斯模型进行量子化，如何与质量间隙问题以及有效希格斯质量 $ m/\sqrt{\lambda} $ 在不同极限下的行为相关联？
• RQ5 狄拉克方法在何种意义上为现代物理学中的参考系提供了比 FP 方法更自然且逻辑上一致的框架？

主要发现

• 狄拉克的根本性量子化通过约束壳还原和非局域狄拉克变量，保持了显式洛伦兹协变性（S-协变性）和规范不变性（G-不变性），而法捷耶夫-波波夫方法则不具备此特性。
• 在 QED 中，库仑场作为狄拉克变量中高斯定律方程的精确解出现，而非近似解，证明了该方法的物理一致性。
• 在闵可夫斯基希格斯模型中，BPS 单极子解和离散真空几何自然涌现，为研究质量间隙提供了几何框架。
• 有效希格斯质量 $ m/\sqrt{\lambda} $ 是距离 $ r $ 的连续函数，在紫外极限（无限厚的域壁）趋于零，在红外极限（无限薄的域壁）趋于有限值，暗示存在自然的红外截断。
• 局部算符的相关函数随距离呈指数衰减：当 $ |x-y| $ 较大时，有 $ |\langle \Omega, \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(y) \Omega \rangle| \leq \exp(-C|x-y|) $，这是质量间隙的关键特征。
• 狄拉克方法通过分析离散真空流形 $ R_{YM} $ 中的真空结构和重整化群流，为证明非阿贝尔规范理论中的质量间隙提供了可行路径。