[논문 리뷰] Direct and inverse problems for the nonlinear time-harmonic Maxwell equations in Kerr-type media

Yernat M. Assylbekov, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 21.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 30인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 시간 조화 전자기장의 경계 측정을 통해 킬러 타입의 매질에서 전기율, 투자율 및 비선형 감수도 계수(a, b)를 유일하게 복원하는 것을 확립한다. 비선형 시간 조화 맥스웰 방정식계를 사용하여, 복소 기하학적 옹알 솔루션과 단순 다양체 위의 감쇠된 레이 변환을 활용하여, 직접 문제의 잘 정의됨과 역 문제에서의 유일성(디리클레-노이만 맵을 통한)을 증명한다.

ABSTRACT

In the current paper we consider an inverse boundary value problem of electromagnetism in a nonlinear Kerr medium. We show the unique determination of the electromagnetic material parameters and the nonlinear susceptibility parameters of the medium by making electromagnetic measurements on the boundary. We are interested in the case of the time-harmonic Maxwell equations.

연구 동기 및 목표

• 콤��� 리만 다양체의 경계를 가진 3차원에서 비선형 시간 조화 맥스웰 방정식의 직접 문제의 잘 정의됨을 확립한다.
• 경계 측정을 통해 전자기 매질 매개변수와 비선형 감수도를 결정하는 역 경계값 문제를 조사한다.
• 디리클레-노이만 맵을 통해 복소 전기율 ε, 투자율 μ 및 비선형 계수 a, b의 유일한 결정을 증명한다.
• 선형 역 문제에서 비선형 역 문제로의 결과 확장을 위해 미분기하학과 PDE 이론의 고급 도구를 사용한다.

제안 방법

• 킬러 타입 비선형성을 포함한 시간 조화 맥스웰 방정식을 수립: *dE = iωμH + iωb|H|²H 및 *dH = -iωεE - iωa|E|²E.
• 경계 조건을 ∂M에서의 탄성 성분의 투영을 통해 W^{1,p}_{Div} 및 TW^{1-1/p,p}_{Div} 소볼레프 공간을 사용하여 정의한다.
• 선형화된 시스템에 대한 복소 기하학적 옹알(CGO) 솔루션을 적용하여 비선형 매개변수를 탐사한다.
• 역 문제를 두 차원 단순 다각형에서 일정한 감쇠 -2λ를 가지는 감쇠된 지오데식 레이 변환의 단사성으로 환원한다.
• 푸리에 변환의 유일성과 감쇠된 레이 변환의 단사성을 활용하여 f = h = 0임을 보이며, 이는 a₁ = a₂ 및 b₁ = b₂임을 의미한다.
• 역 문제 분석을 위해 선형 맥스웰 방정식의 정규성 이론(정리 A.1)에 의존하여 해가 적절한 소볼레프 공간에 속하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 킬러 타입 매질 내 전자기 매질 매개변수(ε, μ)와 비선형 감수도 계수(a, b)는 경계 측정을 통해 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 소박한 경계 자료에 대해 소볼레프 공간에서 비선형 시간 조화 맥스웰 방정식의 직접 문제가 잘 정의되는가?
• RQ3 디리클레-노이만 맵은 킬러 비선형성에서 비선형 매개변수 a와 b를 유일하게 결정하는가?
• RQ4 감쇠된 레이 변환의 단사성은 경계 자료로부터 비선형 계수를 복원하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 유일성과 해의 존재를 보장하기 위해 ε, μ, a, b 및 경계 자료에 대한 어떤 정규성 조건이 필요한가?

주요 결과

• 소박한 경계 자료에 대해 W^{1,p}_{Div}(M) 공간에서 3 < p ≤ 6일 때 비선형 시간 조화 맥스웰 방정식의 직접 문제가 잘 정의된다.
• 모든 ω가 이산적인 공진 주파수 집합 외부에 있을 경우, 충분히 작은 경계 자료에 대해 W^{1,p}_{Div}(M) × W^{1,p}_{Div}(M) 공간 내에서 유일한 해 (E, H)가 존재한다.
• 물질 매개변수 ε와 μ가 알려져 있을 경우, 비선형 감수도 계수 a와 b는 디리클레-노이만 맵을 통해 유일하게 결정된다.
• 증명은 두 차원 단순 다각형에서 일정한 감쇠 -2λ를 가지는 감쇠된 지오데식 레이 변환의 단사성에 의존한다.
• 복소 주파수 매개변수 λ를 변화시키고 푸리에 변환의 유일성 원리를 적용하여, 저변의 자료가 전체 비선형 계수를 결정함을 보였다.
• 매질이 부드러운 경계를 가진 콤팩트한 3차원 리만 다각형이며 비선형성이 킬러 타입임을 가정할 경우, 역 문제는 유일하게 해를 갖는다.