[논문 리뷰] Directional derivatives and subdifferentials of set-valued convex functions

Andreas H. Hamel, Carola Schrage|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 23.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 볼록집합의 공간에서 잔여 연산을 사용하여 집합값 함수의 새로운 방향도 및 하위미분을 도입한다. 이는 집합값 최적화 문제의 해를 특성화하고 집합값 최대형식을 가능하게 하며, 순서 콩에 대한 제한적인 가정을 피하면서 고전적 볼록해석을 일반화한다. 이론은 비정상적인 확장된 실수값 함수에도 확장된다.

ABSTRACT

A new directional derivative and a new subdifferential for set-valued convex functions are constructed, and a set-valued version of the so-called 'max-formula' is proven. The new concepts are used to characterize solutions of convex optimization problems with a set-valued objective. As a major tool, a residuation operation is used which acts in a space of closed convex, but not necessarily bounded subsets of a topological linear space. The residuation serves as a substitute for the inverse addition and is intimately related to the Minkowski or geometric difference of convex sets. The results, when specialized, even extend those for extended real-valued convex functions since the improper case is included.

연구 동기 및 목표

• 기존 접근 방식의 한계를 극복하는 집합값 볼록 함수를 위한 새로운 방향도 및 하위미분 이론을 개발하는 것.
• 스칼라 볼록해석과 유사하게, 방향도와 하위미분을 연결하는 집합값 최대형식의 버전을 수립하는 것.
• 새로운 도함수 개념을 사용하여 집합값 목표 함수를 가진 볼록 최적화 문제의 해를 특성화하는 것.
• 지정된 순서 콩이 날카롭거나 생성적이지 않아도 되는 조건 없이 고전적 볼록해석 결과를 집합값 설정으로 일반화하는 것.
• 일반화된 이동을 통해 해 집합을 단일 원소로 줄일 수 있는 집합값 최적화의 해 개념을 제공하는 것.

제안 방법

• 위상선형공간의 닫힌 볼록부분집합의 공간에서 잔여 연산을 도입하여 벡터 뺄셈의 대체 수 Mittel로 사용하고, 차분 몫의 정의를 가능하게 한다.
• 잔여 기반 증분 개념을 사용하여 집합값 볼록 함수의 방향도 및 하위미분을 정의하며, 고전적 도함수 개념을 일반화한다.
• 연속선형함수 쌍에 의해 생성되는 단순한 집합값 함수로 쌍대 변수를 사용하여, 연산자 값을 가진 쌍대 변수가 필요 없도록 한다.
• 볼록집합의 민코프스키(기하학적) 차이를 잔여 연산의 특수한 경우로 사용하여 기존 집합 이론 연산과의 새로운 연결 고리를 확립한다.
• 집합값 최적화에 이론을 적용하기 위해 함수 $\hat{f}(\cdot; M)$을 도입하며, 각 $x$에 대해 $m \in M$에 대해 $f(x + m)$의 하한을 맵핑한다. $M$이 그 볼록껍질로 대체될 때 이 함수의 볼록성을 증명한다.
• 해의 존재성과 하위미분 포함 조건을 연결하기 위해 방향도 및 하위미분을 사용하여 하한자 $M$을 특성화한다: $0 \in \bigcap_{z^* \in \Gamma^-(f)} \partial_{z^*} \hat{f}(\cdot; \mathrm{co}\,M)(0)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 벡터 뺄셈이 이용 불가능한 상황에서 집합값 볼록 함수에 대해 방향도 및 하위미분을 일관적으로 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 지정된 순서 콩이 날카롭거나 생성적이지 않은 상황에서, 방향도와 하위미분을 연결하는 집합값 최대형식의 유사체를 수립할 수 있는가?
• RQ3 집합값 목표 함수를 가진 볼록 최적화 문제의 적절한 해 개념은 무엇이며, 새로운 도함수 개념을 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 잔여 연산은 민코프스키 차이와 어떻게 관련되어 있으며, 집합값 분석의 기초 도구로 기능할 수 있는가?
• RQ5 집합값 최적화에서 일반화된 이동을 사용하여 해 집합을 단일 원소로 줄일 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 닫힌 볼록집합의 공간에서의 잔여 연산은 벡터 뺄셈의 잘 정의된 대체 수 Mittel을 제공하며, 차분 몫과 그 극한인 방향도의 구성이 가능하다.
• 새로운 최대형식이 증명되었다: 적절한 볼록 집합값 함수에 대해, 점에서의 방향도는 하위미분의 지지함수와 일치하며, 스칼라 경우를 일반화한다.
• 집합값 볼록 함수 $f$에 대해 하한자 $M$이 존재하는 것은 $\hat{f}(0; M) = \hat{f}(0; \mathrm{co}\,M)$ 이고 $0 \in \bigcap_{z^* \in \Gamma^-(f)} \partial_{z^*} \hat{f}(\cdot; \mathrm{co}\,M)(0)$ 인 것과 동치이며, 하위미분을 통한 완전한 특성화를 제공한다.
• 이론은 비정상적인 경우(예: 확장된 실수값 함수)로도 확장되며, 순서 콩의 날카롭음, 정규성, 내부가 비어 있지 않음 등의 제한적인 가정이 필요하지 않다.
• $\hat{f}(\cdot; M)$ 함수는 $f$를 $M$에 대해 최소합성한 것으로 정의되며, $M$이 그 볼록껍질로 대체될 때 볼록성이 유지되어 볼록해석 도구의 사용이 가능하다.
• 예시에서 $M = \{(0,0), (1,0), (0,1)\}$ 는 $f$의 하한자이며, 모든 $w \in C^{-} \setminus \{0\}$ 에 대해 $w_1 = w_2$ 를 만족할 때 방향도 조건이 성립함을 확인하여 이론적 특성화를 확인한다.