[논문 리뷰] Discontinuous Galerkin methods for nonvariational problems

Andreas Dedner, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 08.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Lakkis와 Pryer의 비변분 유한요소법(NVFEM)을 유한요소 헤시안을 불연속 보조 변수로 간주하는 방식으로 불연속 갈레르킨(DG) 프레임워크로 확장한다. 이 방법은 표준 DG 방법과 동일한 크기와 희박성 패턴을 가지는 희박한 선형계를 생성하여, 파손된 소볼레프 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하고 연속적 형태에 비해 계산 비용을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

We extend the finite element method introduced by Lakkis and Pryer [2011] to approximate the solution of second order elliptic problems in nonvariational form to incorporate the discontinuous Galerkin (DG) framework. This is done by viewing the NVFEM as a mixed method whereby the finite element Hessian is an auxiliary variable in the formulation. Representing the finite element Hessian in a discontinuous setting yields a linear system of the same size and having the same sparsity pattern of the compact DG methods for variational elliptic problems. Furthermore, the system matrix is very easy to assemble, Thus this approach greatly reduces the computational complexity of the discretisation compared to the continuous approach. We conduct a stability and consistency analysis making use of the unified framework set out in Arnold et. al. [2001]. We also give an apriori analysis of the method. The analysis applies to any consistent representation of the finite element Hessian, thus is applicable to the previous works making use of continuous Galerkin approximations.

연구 동기 및 목표

• 이차 비변분 타원형 문제에 대해 표준 유한요소 방법이 변분적 구조가 부족하여 실패하는 상황에서 계산적으로 효율적인 불연속 갈레르킨 방법을 개발하는 것.
• 전역 L² 투영으로 인해 밀도 높은 선형계를 생성하는 연속 갈레르킨 접근법의 높은 계산 비용을 극복하는 것.
• 헤시안 근사치를 불연속 혼합 변수로 재구성하여 NVFEM 프레임워크를 DG 설정으로 확장함으로써, 희박 행렬 조립을 가능하게 하는 것.
• Arnold 등(2001)의 통합 DG 프레임워크를 사용하여 강제성 조건 하에서 안정성 및 수렴 분석을 수립하는 것.
• 표준 H^3 또는 H^2 정규성 조건을 만족하지 못하는 비정규 해에 대해서도 수치적으로 최적 수렴 속도를 보여주는 것.

제안 방법

• 비변분 문제를 혼합 시스템으로 간주하여, 혼합 형식에서 유한요소 헤시안을 불연속 보조 변수로 도입한다.
• 불연속 갈레르킨 프레임워크를 사용하여 약한 형태를 유도하고, 요소 간 표면에서 헤시안 변수에 대해 수치적 플럭스를 적용한다.
• 시스템 행렬은 국소적으로 조립되어 희박성과 표준 DG 강성 행렬과 동일한 크기와 희박성 패턴을 유지한다.
• Arnold 등(2001)의 통합 DG 프레임워크를 사용하여 안정성 및 일致성 분석을 수행하며, 계수 행렬 A에 대한 강제성 조건을 가정한다.
• 이 방법은 어떤 일관된 유한요소 헤시안 표현에도 적용 가능하므로 이전의 연속 갈레르킨 연구와 호환된다.
• 수치 실험은 Dune 유한요소 패키지를 사용하여 다양한 정규성 조건 하에서 수렴 속도를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비변분 유한요소법을 계산 복잡도를 줄이기 위해 불연속 갈레르킨 프레임워크로 확장할 수 있는가?
• RQ2 강제성 조건 하에서 비변분 문제에 대해 DG 설정이 최적 수렴 속도를 유지하는가?
• RQ3 헤시안 정규성 조건을 충족하지 못하는 해, 예를 들어 u ∈ H^2(Ω)이지만 H^3(Ω)이 아닌 경우에 이 방법은 어떻게 작동하는가?
• RQ4 해석적 프레임워크에서 더 높은 정규성을 가정하더라도, 파손된 소볼레프 노름에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 시스템의 희박성과 행렬 조립 측면에서 연속 NVFEM에 비해 DG 접근법은 어떤 계산적 이점을 가지는가?

주요 결과

• DG 설정은 표준 DG 방법과 동일한 크기와 희박성 패턴을 가지는 희박 선형계를 생성하여, 연속 NVFEM의 밀도 높은 시스템에 비해 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• H^{k+3}(Ω)에 속하는 해에 대해 dG 노름 ‖·‖_{dG,1}에서 차수 k+1의 최적 수렴 속도를 달성하며, 수치적 증거는 u ∈ H^2(Ω)이지만 H^3(Ω)이 아닌 경우에도 최적 수렴 속도를 보여준다.
• |x−½|² ≤ 1/8일 때 u(x) = ½(cos(8π|x−½|²)+1)로 주어진 해에 대해, 조각별 2차 다항식(k=2)을 사용할 경우 dG,1 노름에서 약 1.998의 최적 수렴 속도를 달성한다.
• H^1(Ω)에 속하지만 H^2(Ω)에 속하지 않는 해, 예를 들어 u(x) = 100x₁(1−x₁)x₂(1−x₂)/|x|의 경우, 기대한 바와 같이 수렴 속도는 최적이 아니지만, 방법은 여전히 잘 정의되고 안정하다.
• 비강제성 연산자에 대해서도 L² 및 dG,1 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하여, 해석적 프레임워크를 초월한 강건성을 보여준다.
• 수치 결과는 여러 격자 세분화 수준에서 최적 수렴 속도가 유지됨을 확인하였으며, dG,1 노름에서 k=2일 경우 EOC 값이 약 2.0, k=1일 경우 약 1.998에 수렴한다.