[论文解读] Discrete isometry groups of symmetric spaces

Michael Kapovich, Bernhard Leeb|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用 9

一句话总结

本文在高阶半单李群中引入了一类离散子群，称为RA（正则对径）子群和Anosov子群，推广了秩1的拟凸共 compact Kleinian群。它建立了Anosov子群在几何、动力系统和粗几何方面的等价刻画，并在旗流形和Finsler紧化上构造了适当不连续域，从而得到局部对称空间的自然边化与紧化，其结构为带角的流形。

ABSTRACT

This survey is based on a series of lectures that we gave at MSRI in Spring 2015 and on a series of papers, mostly written jointly with Joan Porti. Our goal here is to: 1. Describe a class of discrete subgroups $Γ

研究动机与目标

• 在高阶半单李群中定义一类推广秩1拟凸共 compact 群的离散子群。
• 通过动力系统、粗几何和渐近行为，建立Anosov子群的等价刻画。
• 在旗流形和Finsler紧化上构造Anosov子群的适当不连续域。
• 将局部对称空间 $X/\Gamma$ 自然地边化与紧化为带角流形。
• 将秩1几何中的结构定理推广至高阶情形，类比于双曲群的结果。

提出的方法

• 通过在对称空间 $X = G/K$ 中研究轨道的渐近几何，以正则性与对径性定义RA子群。
• 通过在全旗流形 $G/B$ 上的动力学条件刻画Anosov子群，包括广义收敛性与无穷远处的扩张性。
• 利用Finsler几何与$X$的Finsler紧化，定义拓扑紧化并研究收敛动力系统。
• 以Mumford的几何不变量理论（GIT）为动机，构造适当不连续域。
• 通过Finsler边化与轨道丛商的提升，在商空间 $X/\Gamma$ 上构造带角流形结构。
• 利用Morse性质的局部到整体原则，证明结构稳定性并构造Morse-Schottky子群等例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高阶半单李群中，几何有限与拟凸共 compact 子群的自然推广是什么？
• RQ2 Anosov子群能否通过旗流形上的动力系统、粗几何与渐近嵌入实现等价刻画？
• RQ3 能否在旗流形与Finsler紧化上为Anosov子群构造适当不连续域？
• RQ4 如何以几何上有意义的方式紧化商空间 $X/\Gamma$，其结构如何？
• RQ5 秩1几何中的结构定理在多大程度上可推广至这一类高阶离散子群？

主要发现

• Anosov子群由等价条件刻画：渐近嵌入、RCA、URU、Morse性质与扩张作用。
• Anosov子群类包含自然例子，如Morse-Schottky子群，且将拟凸共 compact 子群推广至高阶情形。
• Anosov子群在全旗流形 $G/B$ 与$X = G/K$ 的Finsler紧化上存在适当不连续域。
• $X/\Gamma$ 赋予自然的带角实解析轨道丛结构，推广了带边流形。
• Finsler边化使 $X/\Gamma$ 获得与粗几何及群作用动力系统相容的紧化结构。
• Morse性质的局部到整体原则为Anosov子群的结构稳定性提供了新证明。