[论文解读] D-manifolds, d-orbifolds and derived differential geometry: a detailed summary

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用 14

一句话总结

本文引入了 d-流形和 d-轨道丛作为衍生微分几何中的新框架，将经典流形和轨道丛扩展至处理具有虚拟基本类的模空间。该研究建立了带有边和角的 d-流形的 2-范畴结构，从复代数几何与辛几何结构（如完美障碍理论、多面体）中建立了截断函子，并表明枚举不变量（如 Gromov–Witten 和 Donaldson–Thomas 不变量）可在该衍生设定下重新表述，从而实现新证明与简化。

ABSTRACT

This is a long summary of the author's book "D-manifolds and d-orbifolds: a theory of derived differential geometry", available at http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/dmanifolds.html . A shorter survey paper on the book, focussing on d-manifolds without boundary, is arXiv:1206.4207, and readers just wanting a general overview are advised to start there. We introduce a 2-category dMan of "d-manifolds", new geometric objects which are 'derived' smooth manifolds, in the sense of the 'derived algebraic geometry' of Toen and Lurie. They are a 2-category truncation of Spivak's 'derived manifolds' (see arXiv:0810.5174, arXiv:1212.1153). The category of manifolds Man embeds in dMan as a full (2-)subcategory. We also define 2-categories dMan^b,dMan^c of "d-manifolds with boundary" and "d-manifolds with corners", and orbifold versions of these dOrb,dOrb^b,dOrb^c, "d-orbifolds". Much of differential geometry extends very nicely to d-manifolds and d-orbifolds -- immersions, submersions, submanifolds, transverse fibre products, orientations, orbifold strata, bordism, etc. Compact oriented d-manifolds and d-orbifolds have virtual classes. There are truncation functors to d-manifolds and d-orbifolds from essentially every geometric structure on moduli spaces used in enumerative invariant problems in differential geometry or complex algebraic geometry, including Fredholm sections of Banach vector bundles over Banach manifolds, the "Kuranishi spaces" of Fukaya, Oh, Ohta and Ono and the "polyfolds" of Hofer, Wysocki and Zehnder in symplectic geometry, and C-schemes with perfect obstruction theories in algebraic geometry. Thus, results in the literature imply that many important classes of moduli spaces are d-manifolds or d-orbifolds, including moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. D-manifolds and d-orbifolds will have applications in symplectic geometry, and elsewhere.

研究动机与目标

• 开发一个用于衍生光滑流形（d-流形）与轨道丛（d-轨道丛）的 2-范畴框架，包括带有边和角的情形。
• 将经典微分几何概念（如浸入、子mersions、横截纤维积与定向）扩展至 d-流形的衍生设定。
• 通过表明其源自 d-流形上的虚拟类，统一并简化几何中的现有枚举不变量（如 Gromov–Witten、Donaldson–Thomas、Seiberg–Witten）。
• 建立从复代数几何与辛几何结构（如 Deligne–Mumford $C^\infty$-堆栈、多面体、Kuranishi 空间）到 d-流形与 d-轨道丛的截断函子。
• 为衍生微分几何提供系统性基础，支持 bordism 理论以及边与角的函子性行为。

提出的方法

• 通过 $C^\infty$-环与衍生概形，构建 d-流形的 2-范畴 ${\mathop{\bf dMan}}$，作为光滑流形的衍生增强。
• 通过基于流形上向量丛光滑截面的零点局部模型定义 d-流形，2-态射由同伦给出。
• 通过 2-范畴 ${\mathop{\bf dMan^c}}$ 引入带有边与角的 d-流形，包含角函子及在横截映射下的函子性行为。
• 发展 d-流形上虚拟向量丛与定向的理论，支持虚拟基本类的构造。
• 建立从 Deligne–Mumford $C^\infty$-堆栈、拟光滑的衍生 $\mathbb{C}$-概形以及 Spivak 的衍生流形到 d-流形的截断函子。
• 通过证明其虚拟循环自然源自 d-流形结构，将该框架应用于枚举几何中的模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一种 2-范畴框架下形式化衍生微分几何，以推广带有边与角的光滑流形与轨道丛？
• RQ2 标准微分几何构造（如横截纤维积、浸入与子mersions）能否扩展至 d-流形与 d-轨道丛？
• RQ3 现有辛几何与代数几何中的枚举不变量（如 Gromov–Witten、Donaldson–Thomas）是否可通过 d-流形上的虚拟类实现统一表述？
• RQ4 d-流形与其他衍生几何结构（如完美障碍理论、多面体、Kuranishi 空间）之间有何关系？
• RQ5 d-流形中边与角的函子性行为是否可用于简化 bordism 理论与相对不变量中的证明？

主要发现

• d-流形的 2-范畴 ${\mathop{\bf dMan}}$ 完全嵌入经典光滑流形范畴，保持所有标准微分几何结构。
• 带有边与角的 d-流形支持函子性角函子，并具有明确定义的虚拟基本类。
• 从 Deligne–Mumford $C^\infty$-堆栈、拟光滑的衍生 $\mathbb{C}$-概形以及 Spivak 的衍生流形到 d-流形存在截断函子。
• 所有标准的枚举不变量（如 Gromov–Witten、Donaldson–Thomas 与拉格朗日子弗不变量）均作为 d-轨道丛上的虚拟类出现。
• 该框架为带有边与角的模空间提供了新的统一方法，简化了现有证明，并推动了衍生微分几何的新结果。
• 定向的紧致 d-流形与 d-轨道丛具有自然的虚拟基本类，支持衍生 bordism 理论。