[논문 리뷰] Discrete transparent boundary conditions for the linearized Green-Naghdi system of equations

Maria Kazakova, Pascal Noble|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 11.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 격자 구조가 겹침형과 비겹침형인 경우에 대해 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 사용하여 선형화된 그린-나그디 방정식에 대한 이산 투명 경계 조건을 유도한다. Z-변환의 역변환을 통해 안정적인 수치적 역변환(비겹침형 격자) 또는 명시적 역변환(겹침형 격자)을 통해 반사 없이 정확한 파동 주입 및 흡수를 가능하게 하며, 가우시안 및 파동 패킷 초기 자료를 통해 수치적으로 검증된다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce artificial boundary conditions for the linearized Green-Naghdi system of equations. The derivation of such continuous (respectively discrete) boundary conditions include the inversion of Laplace transform (respectively Z-transform) and these boundary conditions are in turn non local in time. In the case of continuous boundary conditions, the inversion is done explicitly. We consider two spatial discretisations of the initial system either on a staggered grid or on a collocated grids, both of interest from the practical point of view. We use a Crank Nicolson time discretization. The proposed numerical scheme with the staggered grid permits explicit Z-transform inversion whereas the collocated grid discretization do not. A stable numerical procedure is proposed for this latter inversion. We test numerically the accuracy of the described method with standard Gaussian initial data and wave packet initial data which are more convenient to explore the dispersive properties of the initial set of equations. We used our transparent boundary conditions to solve numerically the problem of injecting propagating (planar) waves in a computational domain.

연구 동기 및 목표

• 유한 도메인 내 정확한 파동 전파 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해 선형화된 그린-나그디 시스템에 대한 정확한 투명 경계 조건을 개발하는 것.
• 연속적인 투명 경계 조건을 Z-변환 역변환를 사용한 크랭크-니콜슨 시간 이산화에 의해 이산 설정으로 확장하는 것.
• 겹침형 및 비겹침형 공간 격자에서 수치적 방법의 안정성과 정확성을 보장하는 것.
• 가우시안 및 파동 패킷 초기 자료를 사용하여 수치적으로 검증함으로써 산란된 파동 행동을 평가하는 것.
• 계획파 주입 시 반사 없이, 그리고 반사 없이 외부로 빠져나가는 파동을 흡수하는 데에 이 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 라플라스 변환 역변환를 통해 연속적인 투명 경계 조건을 유도한 후, Z-변환 역변환를 사용하여 이산 시스템에 적용하는 방법을 적응시킨다.
• 겹침형 및 비겹침형 공간 격자에서 선형화된 그린-나그디 방정식에 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 적용한다.
• 겹침형 격자에서는 Z-변환의 명시적 역변환를 통해 명시적인 경계 조건을 도출한다.
• 비겹침형 격자에서는 명시적 역변환의 부재로 인해 안정적인 수치적 역변환 절차를 개발한다.
• 해의 입사파 성분과 컴팩트하게 지원된 변화량으로의 분해를 통해 경계 조건의 소스 항을 유도한다.
• 도메인 경계에서 이산 파동 역학을 일치시킴으로써 반사 없이 행동하는 경계 조건을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Z-변환 역변환를 사용하여 선형화된 그린-나그디 시스템에 대한 이산 투명 경계 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 이러한 경계 조건에 대해 겹침형 및 비겹침형 격자 이산화의 구현 가능성과 안정성에 차이가 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 수치 시뮬레이션에서 반사 없이 계획파를 정확히 주입하고 흡수할 수 있는가?
• RQ4 위상 속도와 군속도는 수치 결과에서 어떻게 나타나며, 이론적 기대와 일치하는가?
• RQ5 파수와 분산 매개변수의 영향은 잠재적 및 정상 상태 파동 전파에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Z-변환 역변환를 통해 반사 없이 외부로 나가는 파동과 들어오는 파동 모두에 대해 투명 경계 조건을 성공적으로 생성하였다.
• 겹침형 격자는 Z-변환의 명시적 역변환를 허용하지만, 비겹침형 격자는 안정적인 수치적 역변환 절차가 필요하다.
• 수치 결과는 가우시안 및 파동 패킷 초기 자료 모두에 대해 잠재기 간에도 반사가 최소화된 정확한 파동 전파를 보여주었다.
• 위상 속도와 군속도는 정확히 캡처되었으며, 군속도가 위상 속도보다 작다는 점에서 산란 시스템의 기대와 일치하였다.
• ε=10⁻³일 때 파수 p=4 및 p=8의 경우, 잠재기 이후 파동 해가 안정된 전파 상태로 수렴함을 확인하여 방법의 안정성과 정확성을 입증하였다.
• 메서드는 도메인 잘라내기로 인한 인위적 에너지 손실 없이 정확한 해의 에너지 행동을 유지하였다.