[논문 리뷰] Discretely sampled variance and volatility swaps versus their continuous approximations

Robert A. Jarrow, Younes Kchia외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 금융 시장에서 이산적으로 샘플링된 변동성과 변동성 스왑에 대해 연속시간 근사가 얼마나 타당한지 엄밀히 분석한다. 이는 이산적으로 샘플링된 스왑 값이 유한하고 연속적 대응치로 수렴하는 조건을 확립하며, 3/2 스토하스틱 볼라틸리티 모형에서 수렴이 특정 매개변수 영역에서만 보장된다는 것을 보여주며, 그 외의 경우는 여전히 미해결 문제로 남아 있다.

ABSTRACT

Discretely sampled variance and volatility swaps trade actively in OTC markets. To price these swaps, the continuously sampled approximation is often used to simplify the computations. The purpose of this paper is to study the conditions under which this approximation is valid. Our first set of theorems characterize the conditions under which the discretely sampled swap values are finite, given the values of the continuous approximations exist. Surprisingly, for some otherwise reasonable price processes, the discretely sampled swap prices do not exist, thereby invalidating the approximation. Examples are provided. Assuming further that both swap values exist, we study sufficient conditions under which the discretely sampled values converge to their continuous counterparts. Because of its popularity in the literature, we apply our theorems to the 3/2 stochastic volatility model. Although we can show finiteness of all swap values, we can prove convergence of the approximation only for some parameter values.

연구 동기 및 목표

• 연속 근사가 존재할 때 이산적으로 샘플링된 변동성 및 변동성 스왑 값이 유한해지는 조건을 규명하는 것.
• 이산적으로 샘플링된 스왑 값이 연속적 대응치로 수렴하는 데 필요한 충분조건을 규명하는 것.
• 특히 3/2 스토하스틱 볼라틸리티 모형의 맥락에서 널리 사용되는 연속 근사의 실용적 타당성을 평가하는 것.
• 일반적으로 합리적인 가격 과정이라도 근사가 실패할 수 있는 경우를 부각하는 것.
• 변동성 및 변동성 스왑의 가격 설정과 헤징에 있어 연속 근사의 사용을 위한 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 시장 일관성을 보장하기 위해 무자본리스크의 자유(No Free Lunch with Vanishing Risk, NFLVR) 조건 하에 마틴게일 가격 프레임워크를 사용한다.
• 이산적인 경로를 가질 수 있는 기초 자산 가격 과정을 모델링하기 위해 반정마르팅게일 이론을 적용한다.
• 정리 3를 활용하여 이산적 및 연속적 샘플링 스왑 값 간의 차이에 상한을 도출한다.
• 극한과 기대값 연산자의 교환을 정당화하기 위해 볼라틸리티 과정에 모멘트 조건을 도입하며, 이를 정리 4로 명시한다.
• 기존의 통합 변동성의 라플라스 변환을 활용하여 3/2 스토하스틱 볼라틸리티 모형에 결과를 적용한다.
• 통합 변동성의 모멘트를 특성화하기 위해 콘플루언트 하이퍼기하함수와 감마 함수를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 근사가 유한할 때 이산적으로 샘플링된 변동성 및 변동성 스왑 값이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 샘플링 빈도가 증가함에 따라 이산적으로 샘플링된 스왑 값의 극한이 연속 근사로 수렴하는 조건은 언제인가?
• RQ3 왜 합리적인 스토하스틱 볼라틸리티 모형이라도 연속 근사가 실패할 수 있는가?
• RQ4 3/2 모형에서 이산적 스왑 값에서 연속적 스왑 값으로의 수렴이 보장되는 정확한 매개변수 범위는 무엇인가?
• RQ5 3/2 모형에서 이산적 스왑 값에서 연속적 스왑 값으로의 수렴은 모든 매개변수 값에서 보장되는가?

주요 결과

• 연속 근사가 유한하더라도 이산적으로 샘플링된 변동성 스왑 값이 존재하지 않을 수 있으며, 이는 특정 가격 과정에서는 근사가 무효화됨을 의미한다.
• 이산적 및 연속적 샘플링 스왑 값 간의 최대 차이는 $1/n$의 속도로 감소하는 항으로 상한이 제시되며, 여기서 $n$은 샘플링 포인트의 수이다.
• 추가적인 모멘트 조건이 만족될 경우, 이산적 스왑 값에서 연속적 스왑 값으로의 수렴이 보장되며, 이를 정리 4로 명시한다.
• 3/2 스토하스틱 볼라틸리티 모형에서는 모든 허용 가능한 매개변수에서 이산적 및 연속적 스왑 값이 모두 유한하다.
• 수렴은 오직 $q < 0$일 때, 즉 제곱 볼라틸리티가 평균 회귀적일 때에만 증명되며, $q \geq 0$인 경우는 여전히 증명되지 않아 미해결 문제로 남아 있다.
• 3/2 모형에서 통합 변동성의 라플라스 변환은 콘플루언트 하이퍼기하함수를 사용하여 닫힌 형태로 표현되며, 이를 통해 모멘트 분석이 가능해진다.