[논문 리뷰] Discretisation of continuous-time linear dynamical model with the Loewner interpolation framework

Pierre Vuillemin, Charles Poussot-Vassal|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 25.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 선형 정수계(LTI) 시스템을 이산화하기 위한 로에너르 보간 기반 방법을 제안하며, 이로써 높은 차수의 이산 모델을 통해 주파수 도메인 및 시간 도메인 정확도를 향상시킨다. 주파수 데이터를 보간하고 안정 부분공간에 투영함으로써, ZOH 및 투스틴 방법에 비해 더 뛰어난 크기 및 위상 일치를 달성하며, 시간 지연 시스템에서는 상대 오차를 0.094%로 감소시킨다.

ABSTRACT

An interpolation method for discretising continuous-time Linear Time Invariant (LTI) models is proposed in this paper. It consists first in using the Loewner interpolation framework on a specific set of frequency data and secondly to project the resulting model onto a stable subspace. The order of the discretised model may be chosen larger than the initial one thus allowing for trading complexity for accuracy if needed. Numerical examples highlight the efficiency of the method at preserving a satisfactory matching both in magnitude and phase in comparison to standard discretisation methods like ZOH or Tustin.

연구 동기 및 목표

• 주파수 도메인과 시간 도메인 양쪽에서 입력-출력 행동을 유지하는 강력한 연속시간 LTI 시스템 이산화 방법을 개발하기 위해.
• 큰 샘플링 주기에서 정확도가 떨어지는 표준 방법들인 영차수 보존(ZOH) 및 투스틴과 같은 방법의 한계를 해결하기 위해.
• 샘플링 주기를 줄이지 않고도 복잡도를 증가시켜 정확도를 향상시킬 수 있도록 모델 차수를 증가시킬 수 있도록 하기 위해.
• 표준 상태공간 모델을 초월한 시스템, 예를 들어 시간 지연 시스템(TDS)에도 적용 가능하도록 하기 위해.
• 최종 이산 모델의 안정성을 확보하기 위해 하드리 공간 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$에 투영함으로써.

제안 방법

• 복소 주파수 도메인 내 지정된 간격 $\Omega$ 에서 주파수 응답 데이터를 샘플링하여 로에너르 행렬을 구성한다.
• 로에너르 행렬에서 유리 함수 보간을 구성하여 임의의 차수 $k$ 를 가진 초기 이산 시간 모델을 생성한다.
• 최종 이산 모델의 안정성을 확보하기 위해 보간을 안정 부분공간 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$에 투영한다.
• 이산화된 모델의 차수 $n_d$ 를 원래 시스템의 차수 $n$ 을 초과하도록 허용하여, 복잡도를 증가시킴으로써 정확도 향상을 가능하게 한다.
• 상태공간 구조가 필요 없이 주파수 도메인 데이터를 사용함으로써, 표준 LTI 시스템과 시간 지연 시스템 양쪽에 이 방법을 적용한다.
• 최종 모델이 닫힌 단위 원판 내에서 안정적이고 해석적임을 보장하기 위해 투영 연산자 $P_\infty$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로에너르 기반 보간 프레임워크는 ZOH 및 투스틴과 같은 표준 이산화 방법보다 더 뛰어난 주파수 도메인 및 시간 도메인 일치를 달성할 수 있는가?
• RQ2 샘플링 주기를 줄이지 않고도 모델 차수 $k$ 를 증가시키는 것으로 이산 시간 근사의 정확도를 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 표준 상태공간 표현이 없는 시간 지연 시스템(TDS)의 이산화에 있어 로에너르 방법은 얼마나 효과적인가?
• RQ4 보간을 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$에 투영하는 것이 안정성을 확보하면서도 정확도를 유지하는가?
• RQ5 연속 및 이산 도메인 간 대칭적 역할을 고려할 때, 이 방법을 이산 모델을 다시 연속시간 모델로 변환하는 데도 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 지연 시스템에 대해 제안된 방법은 $\mathcal{H}_\infty$ 노름에서 상대 오차가 0.094%로 측정되었으며, 투스틴 방법은 126.85%, ZOH는 503.71%였다.
• 표준 LTI 시스템에 대해 이 방법은 상대 오차를 22%로 줄였으며, ZOH는 72%, 투스틴은 42%였다.
• 로에너르 이산화 모델의 인과 응답은 원래 연속시간 시스템과 매우 유사했으며, 시간 도메인 오차가 크게 감소하였다.
• 로에너르 기반 모델의 주파수 응답은 전체 대역폭에서 뛰어난 크기 및 위상 일치를 보였다.
• 이 방법은 시간 지연 시스템을 지연이 없는 10차 유리 모델로 성공적으로 이산화하여 시스템 동역학을 거의 오차 없이 유지하였다.
• 하드리 공간 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$에 대한 투영 단계는 고차수 모델에서도 안정성을 확보하면서도 높은 정확도를 유지하는 데 기여하였다.