[논문 리뷰] Discretisation of heterogeneous and anisotropic diffusion problems on general non-conforming meshes. SUSHI: a scheme using stabilisation and hybrid interfaces

Robert Eymard, Thierry Gallouët외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 01. 09.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 비일치 메esh에서 비균질성과 비등방성 확산 문제를 해결하기 위한 대칭적이고 세포 중심의 유한체적 방법인 SUSHI 스킴을 제시한다. 하이브리드 인터페이스와 안정화 기법을 도입함으로써, 해에 대한 정규성 가정 없이 국소 보존성을 유지하고 정확한 해로 수렴하며, 스무스함 조건 하에서 1차 오차 추정을 확보한다.

ABSTRACT

A discretisation scheme for heterogeneous anisotropic diffusion problems on general meshes is developed and studied. The unknowns of this scheme are the values at the centre of the control volumes and at some internal interfaces which may for instance be chosen at the diffusion tensor discontinuities. The scheme is therefore completely cell centred if no edge unknown is kept. It is shown to be accurate on several numerical examples. Mathematical convergence of the approximate solution to the continuous solution is obtained for general (possibly discontinuous) tensors, general (possibly non-conforming) meshes, and with no regularity assumption on the solution. An error estimate is then drawn under sufficient regularity assumptions on the solution.

연구 동기 및 목표

• 일반적이며 가능하면 비일치 메쉬에서 비등방성 및 비균질 확산 문제를 위한 대칭적이고 세포 중심의 유한체적 스킴을 개발하는 것.
• 비균질 매질 간의 인터페이스에서 수치적 플럭스의 국소 보존성을 보장하는 것.
• 정확한 해의 정규성 조건을 요구하지 않고 이산 해가 연속 해로 수렴하도록 보장하는 것.
• 해 또는 확산 텐서에 대한 적절한 정규성 가정 하에서 오차 추정을 유도하는 것.
• 미래 연구의 기초가 되도록 스킴을 비선형 Leray-Lions 연산자로 확장하는 것.

제안 방법

• 스킴은 세포 중심의 미지수와 특히 확산 텐서의 불연속성 위치에서의 추가적인 미지수를 사용하여 정확성과 안정성을 향상시킨다.
• 비일치 유한요소 프레임워크에서 유도된 이산 약한 공식화를 적용하여 유도된 선형 시스템의 대칭성을 보장한다.
• 기울기 재구성의 제어를 위해 안정화 기법을 도입하여 이산 기울기가 L^p 노름에서 유계임을 보장한다.
• 각 제어체적 및 인터페이스에서 유한체적 균형을 통해 수치 플럭스의 국소 보존성을 강제한다.
• 세포 값과 인터페이스 값으로 구성된 이산 기울기 연산자를 정의하며, 이는 연속 기울기로의 일致성을 보장하는 재구성 방식을 포함한다.
• 기능해석 도구를 사용하여 수렴성을 증명하며, 이는 이산 기울기의 유계성과 진짜 기울기로의 약한 수렴성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비일치 메쉬에서 비등방성 및 비균질 확산 문제를 위한 대칭적이고 세포 중심의 유한체적 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 스킴은 비균질 매질 간의 인터페이스에서 플럭스의 국소 보존성을 유지하는가?
• RQ3 해의 정규성 조건을 가정하지 않더라도 이산 해가 정확한 해로 수렴하는가?
• RQ4 해 또는 확산 텐서에 대한 스무스함 조건 하에서 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ5 스킴은 Leray-Lions 클래스에 속하는 비선형 확산 연산자로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• SUSHI 스킴은 해가 H^1_0(Ω) 이상의 추가 정규성 조건 없이도 연속 문제의 정확한 해로 수렴한다.
• 해에 대한 적절한 정규성 가정 하에서 1차 오차 추정이 도출되었으며, 이는 메쉬 크기와 확산 텐서의 성질에 따라 결정된다.
• 수치 실험 결과, 해의 L^2 노름에서 2차 수렴이 관찰되어 실질적으로 높은 정확성을 보였다.
• 비균질 매질 간의 인터페이스를 포함한 모든 인터페이스에서 플럭스의 국소 보존성이 유지된다.
• 이산 기울기 연산자는 메쉬에 대해 일관되게 L^p 노름에서 유계이며, 안정성을 보장한다.
• 수렴 증명은 Leray-Lions 연산자에 의해 지배되는 비선형 문제로까지 확장되며, 선형 확산을 초월한 광범위한 적용 가능성을 시사한다.