[논문 리뷰] Displaying Polish groups on separable Banach spaces

Valentin Ferenczi, Christian Rosendal|Institutional Repository University of Extremadura (University of Extremadura)|2011. 10. 13.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 등가 노름을 통한 분리 가능한 바나흐 공간 위에서 등가 이sovmetry 군으로서 폴란드 군을 실현할 수 있는 조건을 설정한다. 임의의 무한 대칭군 $S_{\infty}$의 비자명한 중심 반전을 포함하는 닫힌 부분군은 $c_0$, $\ell_p$, $L_p$, $C([0,1])$와 같은 고전적 공간 위에서 표현 가능하며, 임의의 폴란드 군 $G$에 대해 분리 가능한 바나흐 공간 $X$가 존재하여 $\{-1,1\} \times G$가 $X$ 위에서 표현 가능하다는 것을 보인다.

ABSTRACT

A display of a topological group G on a Banach space X is a topological isomorphism of G with the isometry group Isom(X,||.||) for some equivalent norm ||.|| on X, where the latter group is equipped with the strong operator topology. Displays of Polish groups on separable real spaces are studied. It is proved that any closed subgroup of the infinite symmetric group S_\infty containing a non-trivial central involution admits a display on any of the classical spaces c0, C([0,1]), lp and Lp for 1 <=p

연구 동기 및 목표

• 분리 가능한 바나흐 공간 $X$ 위에서 어떤 등가 노름에 대해 폴란드 군 $G$가 위상적으로 이sovmetry 군과 동형이 될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 바나흐 공간의 이sovmetry 군의 구조가 그 위에 표현 가능한 군들로부터 복원될 수 있는지 조사하는 것.
• Jarosz의 추측을 확장하여 $\{-1,1\} \times G$가 분리 가능한 바나흐 공간 위에서 이sovmetry 군으로 실현될 수 있는 충분한 조건을 규명하는 것.
• 이sovmetry 군의 맥락에서 특별한 점과 수열의 역할을 탐색하는 것.
• LUR, 거의 전이성 노름 등의 노름 재정의 성질과 이sovmetry 군의 구조 사이의 상호작용을 조사하는 것.

제안 방법

• 표현을 정의한다: $\rho: G \to GL(X)$가 위상적으로 충실한 선형 표현이며, 어떤 등가 노름 $\|\!\!\|\!\!\cdot\!\!\!\|\!\!\|$에 대해 $\rho(G) = \mathrm{Isom}(X, \|\!\!\|\!\!\cdot\!\!\!\|\!\!\|)$를 만족하는 경우를 말한다.
• Bellenot의 노름 재정의 기법을 사용하여 $c_0$ 및 기타 고전적 공간에 대해 원하는 이sovmetry 군을 실현하는 등가 노름을 구성한다.
• 그래프의 자동군 이론을 적용하여 $S_{\infty}$의 부분군을 $c_0$ 위의 이sovmetry 군으로 실현한다.
• 바나흐 공간 내의 특별한 벡터 수열을 활용하여 이sovmetry 군의 작용을 제어하고 표현의 충실도를 확보한다.
• 강한 연산자 위상(sot) 수렴과 LUR 노름의 성질을 이용하여, 바람직하지 않은 이sovmetry를 유지하는 노름 재정의를 배제한다.
• Megrelishvili의 결과를 활용하여 약한 연산자 위상과 강한 연산자 위상 간의 일치하지 않음을 증명함으로써, $C([0,1]^2)$와 같은 특정 공간이 큰 이sovmetry 군을 유지하는 LUR 노름을 가질 수 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 폴란드 군 $G$가 분리 가능한 바나흐 공간 $X$ 위에서 표현 가능할 수 있는가?
• RQ2 비자명한 중심 반전을 가진 모든 폴란드 군 $G$는 어떤 분리 가능한 바나흐 공간 위에서 표현 가능할 수 있는가?
• RQ3 모든 폴란드 군 $G$에 대해 $\{-1,1\} \times G$가 표현 가능한 보편적인 분리 가능한 바나흐 공간 $X$가 존재하는가?
• RQ4 바나흐 공간 내에 특별한 점이나 수열이 존재할 경우 그 이sovmetry 군이 이산적 또는 가산적임을 의미하는가?
• RQ5 LUR 또는 거의 전이성 등의 노름 재정의 성질이 바나흐 공간의 이sovmetry 군의 구조를 어느 정도 제약하는가?

주요 결과

• 비자명한 중심 반전을 포함하는 $S_{\infty}$의 임의의 닫힌 부분군은 $c_0$, $C([0,1])$, $\ell_p$, $L_p$ ($1 \leq p < \infty$) 위에서 표현 가능하다.
• 임의의 폴란드 군 $G$에 대해 $\{-1,1\} \times G$가 표현 가능한 분리 가능한 바나흐 공간 $X$가 존재한다.
• $\{-1,1\}$은 임의의 실수 바나흐 공간 위에서 표현 가능하며, 원주군 $\mathbb{T}$는 임의의 복소 바나흐 공간 위에서 표현 가능하다.
• $C([0,1]^2)$는 원래 이sovmetry 군을 유지하는 등가 LUR 노름을 가지지 않으며, 이는 약한 연산자 위상과 강한 연산자 위상 간의 일치하지 않음 때문이다.
• $L_1([0,1])$의 등가 노름 재정의 중 원래 이sovmetry 군을 유지하는 것은 원래 노름의 스칼라 배수일 수밖에 없으며, 원래 노름이 어디서도 LUR가 아니므로 이러한 노름 재정의는 LUR가 될 수 없다.
• 일부 반사 공간과 같은 분리 가능한 바나흐 공간에서는 어떤 등가 노름 재정의에 대해서도 이sovmetry 군이 항상 컴act 리 군이 되며, 이는 가산 무한 이sovmetry 군의 존재를 배제한다.