[논문 리뷰] Dissipative operators in Krein Space: invariant subspaces and properties of restrictions

Андрей Андреевич Шкаликов|ArXiv.org|2007. 01. 15.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 Langer 조건보다 훨씬 약한 조건 하에서 Kreín 공간 내의 소산 연산자에 대해 최대의 비음성 불변 부분공간이 존재함을 증명한다. 이 부분공간으로의 연산자 제한은 열린 왼쪽 반평면 내에 스펙트럼을 가지며, 이 제한이 해석적 또는 $C_0$-반군을 생성할 충분한 조건을 제공한다. 이는 Pöntryagin, Langer, Azizov의 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

We prove that a dissipative operator in Krein space possesses a maximal non-negative invariant subspace provided that this operator admits matrix representation with respect to canonical decomposition of the space and the right upper entry of the operator matrix is relatively compact with respect to the right lower entry. Under additional condition when the left upper and left lower operators are bounded (the so-called "Langer condition") this result was proved (in the increasing order of generality) by Pontryagin, Krein, Langer, and Azizov. The Langer condition is replaced in the paper by a much weaker condition. We also prove: if a dissipative operator $A$ in Krein space is maximal then there exists a maximal non-negative invariant subspace $\mathcal L_+$ such that the spectrum of the restriction $A_+ = A|_{\mathcal L_+}$ lies in the closed left half-plane. We found sufficient conditions in terms of the entries of $A$ which garantee that $A_+$ is the generator of a holomorphic or $C_0$-semigroup.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 Langer 조건보다 제한적인 조건을 벗어나 Kreín 공간 내 소산 연산자에 대해 최대의 비음성 불변 부분공간의 존재를 일반화하는 것.
• 이 불변 부분공간으로의 연산자 제한의 스펙트럼이 열린 왼쪽 반평면 내에 국소화됨을 확립하는 것.
• 이 제한 연산자가 해석적 또는 $C_0$-반군을 생성할 수 있는 충분한 조건을 도출하는 것.
• Langer 조건의 유계성 가정을 행렬 표현에서 비대칭 블록에 대한 훨씬 더 약한 컴팩트성 유형 조건으로 대체하는 것.
• Pöntryagin, Langer, Azizov의 이전 결과들을 부정확한 계량 공간 내 소산 연산자 맥락에서 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• canonical symmetry $J$ 에 의해 유도되는 표준 분해 $\mathcal{H} = \mathcal{H}^+ \oplus \mathcal{H}^-$ 를 사용하여 연산자 $A$ 를 블록 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 를 가진 $2 \times 2$ 행렬로 표현한다.
• Langer의 조건보다 더 약한 조건을 적용: 비대칭 블록 $A_{12} = P_+ A P_-$ 는 컴팩트하며, $A_{11}$ 과 $A_{22}$ 는 반드시 유계가 아니어도 된다.
• Kreín 공간의 구조를 활용하여 $J$-소산 연산자 맥락에서 스펙트럼 이론과 해석적 해석 추정을 적용한다.
• 제한된 연산자의 생성자 성질을 분석하기 위해 $S$-함수와 해석적 해석 추정의 개념을 활용한다.
• 균일한 해석적 해석 추정을 도출하기 위해 등식 $S(\mu) - \alpha = [1 - G(\mu)A_{12}(A_{11} - \alpha)^{-1}](A_{11} - \alpha)$ 를 사용한다.
• 오른쪽 반평면에서 균일한 해석적 해석 성장 추정을 검증함으로써 해석적 및 $C_0$-반군 이론을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Langer 조건보다 더 약한 조건 하에서 Kreín 공간 내 $J$-소산 연산자에 대해 최대의 비음성 불변 부분공간이 존재하는가?
• RQ2 이러한 연산자의 최대의 비음성 불변 부분공간으로의 제한의 스펙트럼은 어디에 위치하는가?
• RQ3 이 부분공간으로의 연산자 제한이 언제 해석적 또는 $C_0$-반군을 생성하는가?
• RQ4 고전적인 Langer 조건은 행렬 표현에서 비대칭 블록에 대한 더 약한 컴팩트성 유형 가정으로 대체될 수 있는가?
• RQ5 제한된 연산자의 스펙트럼 및 반군 생성 성질은 원래의 $J$-소산 연산자의 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 $A_{12} = P_+ A P_-$ 가 컴팩트일 조건 하에서 Kreín 공간 내 $J$-소산 연산자 $A$ 에 대해 최대의 비음성 $A$-불변 부분공간 $\mathcal{L}$ 이 존재함을 증명한다.
• 제한 $A|_{\mathcal{L}}$ 의 스펙트럼은 열린 왼쪽 반평면 $\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda < 0\}$ 에 포함된다.
• 만약 연산자 $A_{11}$ 이 해석적 반군을 생성하고 $A_{12}$ 가 컴팩트이면, $A|_{\mathcal{L}}$ 는 해석적 반군을 생성한다.
• $C_0$-반군을 생성할 수 있는 충분한 조건는 균일한 해석적 해석 추정을 통해 유도된다: $\|(S(\mu) - \alpha)^{-1}\| \leq C|\alpha|^{-1}$ for $\operatorname{Re} \alpha \geq \varepsilon$.
• 증명은 조건 $\|G(\mu)\| < 1/(2C(\varepsilon))$ 가 해석적 해석 추정을 보장함을 보여주며, 이는 해석적 반군 생성을 암시한다.
• 이 결과는 $A_{11}$ 과 $A_{22}$ 의 유계성 가정을 $A_{12}$ 에 대한 더 약한 컴팩트성 조건으로 대체함으로써 Pöntryagin, Langer, Azizov의 이전 정리들을 확장한다.