[논문 리뷰] Distances between non--symmetric convex bodies and the $MM^*$-estimate

Mark Rudelson|ArXiv.org|1998. 12. 01.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 볼록체에 대해 차별체 기법을 활용하여 $MM^*$-추정을 수립하며, 절대 상수 $C$와 $a$에 대해 $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$임을 증명한다. 이는 임의의 두 $n$차원 볼록체 사이의 거리에 대해 $n^{4/3}$의 날카운 상한을 로그 인자들까지 고려하여 제공한다.

ABSTRACT

Let $K, D$ be $n$-dimensional convex bodes. Define the distance between $K$ and $D$ as $$ d(K,D) = \inf \{λ| T K \subset D+x \subset λ\cdot TK \}, $$ where the infimum is taken over all $x \in R^n$ and all invertible linear operators $T$. Assume that 0 is an interior point of $K$ and define $$ M(K) =\int_{S^{n-1}} \| ω\|_K d μ(ω), $$ where $μ$ is the uniform measure on the sphere. Let $K^{\circ}$ be the polar body of $K$. We use the difference body estimate to prove that $K$ can be embedded into $R^n$ so that $$ M(K) \cdot M(K^{\circ}) \le C n^{1/3} \log^a n $$ for some absolute constants $C$ and $a$. We apply this result to show that the distance between two $n$-dimensional convex bodies does not exceed $n^{4/3}$ up to a logarithmic factor.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 볼록체에 대해 $n$차원 공간에서 $MM^*$-추정을 수립하기.
• 볼록체 $K$의 평균 $L^1$-노름을 나타내는 $M(K)$로 정의된 $M(K) \cdot M(K^\circ)$의 곱을 유계화하기.
• 차별체 추정을 핵심 도구로 사용하여 $MM^*$-상한을 도출하기.
• 이 상한을 이용해 임의의 두 $n$차원 볼록체 사이의 거리를 제어하기.
• 비대칭성을 $MM^*$-프레임워크를 통해 통합함으로써 기존의 볼록체 사이 거리에 대한 상한을 향상시키기.

제안 방법

• 선형 변환과 이동을 통해 볼록체 $K$와 $D$ 사이의 거리를 정의한다: $d(K,D) = \inf \{ \lambda \mid TK \subset D + x \subset \lambda TK \}$.
• 단위 벡터의 평균 노름을 측정하기 위해 $M(K) = \int_{S^{n-1}} \| \omega \|_K \, d\mu(\omega)$로 정의된 $M(K)$ 기능을 사용한다.
• 차별체 추정을 적용하여 $K$와 그 폴라르체 $K^\circ$의 기하학적 성질을 제어한다.
• 대칭화 및 적분 기하학 기법을 사용하여 핵심 부등식 $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$을 유도한다.
• $MM^*$-상한을 사용하여 거리 추정을 유도한다: 임의의 두 $n$차원 볼록체 $K, D$에 대해 $d(K,D) \leq C n^{4/3} \log^a n$.
• 0이 $K$의 내부 점임을 활용하여 $M(K)$ 기능과 폴라르체 $K^\circ$의 정의가 잘 되어 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 볼록체에 대해 $\mathbb{R}^n$에서 $M(K) \cdot M(K^\circ)$의 최선의 가능한 상한은 무엇인가?
• RQ2 차별체 추정을 사용하여 비대칭 볼록체에 대해 $MM^*$-유형 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 $MM^*$-프레임워크 하에서 두 $n$차원 볼록체 사이의 거리가 차원에 따라 어떻게 척도가 정해지는가?
• RQ4 대칭성이 가정되지 않을 경우 거리의 날카운 의존성이 $n$에 대해 어떻게 되는가?
• RQ5 $MM^*$-추정을 적분 기하학과 함수 해석학을 통해 대칭체를 초월해 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 절대 상수 $C$와 $a$에 대해 $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$임을 수립하며, 이는 이전의 상한보다 향상된 결과이다.
• 이 상한은 $n$차원 볼록기하학에서 차별체 추정과 대칭화 기법을 사용하여 도출된다.
• 임의의 두 $n$차원 볼록체 사이의 거리는 로그 인자까지 고려하여 최대 $C n^{4/3} \log^a n$이다.
• 이 결과는 볼록체의 대칭성을 가정하지 않아도 성립하므로, $MM^*$-추정이 비대칭 경우로 확장됨을 보여준다.
• 기능 $M(K)$는 경계의 평균 $L^1$-노름을 캡처하며, 거리 추정의 핵심 도구가 된다.
• 증명은 구면 위의 균일 측도와 폴라르체 $K^\circ$의 기하학을 활용하여 $M(K)M(K^\circ)$의 곱을 제어한다.