[论文解读] Distillation protocols for Fourier states in quantum computing

Cody Jones|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文提出了一种容错的聚束协议，用于制备多量子比特傅里叶态——这是容错量子计算中基于相位提升的任意相位旋转的关键资源。利用 $O(n\log n)$ controlled-SWAP 和 Clifford 门，该方法可实现 $n$-量子比特傅里叶态 $|\gamma^{(1)}\rangle$ 的高效制备，误差为 $O(2^{-n})$，使相位提升成为比基于 $T$-门的方法更低开销的替代方案。

ABSTRACT

Fourier states are multi-qubit registers that facilitate phase rotations in fault-tolerant quantum computing. We propose distillation protocols for constructing the fundamental, $n$-qubit Fourier state with error $O(2^{-n})$ at a cost of $O(n \log n)$ Toffoli gates and Clifford gates, or any arbitrary Fourier state using $O(n^2)$ gates. We analyze these protocols with methods from digital signal processing. These results suggest that phase kickback, which uses Fourier states, could be the current lowest-overhead method for generating arbitrary phase rotations.

研究动机与目标

• 为解决傅里叶态缺乏高效、容错制备方法的问题，而傅里叶态是基于相位提升的相位旋转所必需的资源。
• 证明使用 Toffoli 门作为非 Clifford 资源，可在任意相位旋转的资源成本方面优于基于 $T$-门的方法。
• 通过提供一种可扩展、容错的聚束方法来完成相位提升协议，以聚束基本的傅里叶态 $|\gamma^{(1)}\rangle$。
• 证明傅里叶态可被高效地重用和克隆，从而实现在量子算法中高保真度、重复使用。

提出的方法

• 该协议采用递归聚束方法制备近似傅里叶态，随后利用 $O(n\log n)$ Toffoli 和 Clifford 门将这些态聚束为所需的 $|\gamma^{(1)}\rangle$ 态。
• 它利用了傅里叶态在模加法下的本征态特性：$U_{\oplus 1}|\gamma^{(k)}\rangle = e^{-i2\pi k/N}|\gamma^{(k)}\rangle$，从而实现任意 $Z$-轴旋转的相位提升。
• 该方法应用数字信号处理技术分析并优化聚束过程，确保 $n$-量子比特态的误差缩放为 $O(2^{-n})$。
• 对于任意 $k$，相关协议使用 $O(n^2)$ 门，其中间态如 $|\gamma^{(0)}\rangle$ 可通过 Clifford 门制备，从而降低 Toffoli 门的使用成本。
• 该协议支持将寄存器递归拆分为更小的部分，从而实现大尺寸傅里叶态的可扩展构建。
• 它通过 QVR 相位提升实现傅里叶态的克隆，仅需 $2n-4$ Toffoli 门，从而实现在多个操作中重复使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 傅里叶态能否以低于基于 $T$-门方法的资源开销被容错制备，用于任意相位旋转？
• RQ2 仅使用 Clifford 门和 Toffoli 门聚束 $n$-量子比特傅里叶态 $|\gamma^{(1)}\rangle$ 时，最优的门数和误差缩放是多少？
• RQ3 在容错量子电路中，使用 Toffoli 门作为非 Clifford 资源是否比使用 $T$ 门带来更低的整体资源成本？
• RQ4 通过提供一种高效、可扩展的傅里叶态聚束方法，能否完成相位提升协议并使其具备实用性？
• RQ5 在容错架构中，通过克隆实现傅里叶态的重用是否可行且具有成本效益？

主要发现

• 该协议使用仅 $O(n\log n)$ Toffoli 和 Clifford 门，实现了 $n$-量子比特傅里叶态 $|\gamma^{(1)}\rangle$ 的误差缩放为 $O(2^{-n})$。
• 基本傅里叶态 $|\gamma^{(1)}\rangle$ 的构建需要 $O(n\log n)$ Toffoli 和 Clifford 门，与先前方法相比显著降低了开销。
• 对于任意 $k$，协议的门数规模为 $O(n^2)$，其中间态如 $|\gamma^{(0)}\rangle$ 可仅通过 Clifford 操作制备。
• 傅里叶态可通过 QVR 相位提升使用 $2n-4$ Toffoli 门实现克隆，从而实现在量子算法中的重复使用。
• 结果表明，在当前纠错约束下，基于 Toffoli 门的傅里叶态实现相位提升可能比基于 $T$-门的近似方法具有更低的资源成本。
• 分析支持这一猜想：Toffoli 门资源比 $T$-门资源更具可扩展性，且逻辑 Toffoli 门成本有望进一步降低。