[논문 리뷰] Distributed exact quantum algorithms for Deutsch-Jozsa problem

Hao Li, Daowen Qiu외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전역 함수 성질(상수/균형)과 부분함수 구조 간의 등가성 특성에 기반하여, 디퓨즈-조자 문제에 대한 세 가지 분산 정확한 양자 알고리즘을 제안한다. 다수의 노드 간에 양자 텔레포테이션과 맞춤형 유니터리 연산을 활용함으로써, 고전적 분산 방법에 비해 지수적 쿼리 복잡도 이점을 확보하고, 원래 DJ 알고리즘에 비해 큐비트 수와 회로 깊이를 감소시킨다.

ABSTRACT

Deutsch-Jozsa (DJ) problem is one of the most important problems demonstrating the power of quantum algorithm. DJ problem can be described as a Boolean function $f$: $\{0,1\}^n ightarrow \{0,1\}$ with promising it is either constant or balanced, and the purpose is to determine which type it is. DJ algorithm can solve it exactly with one query. In this paper, we first discover the inherent structure of DJ problem in distributed scenario by giving a number of equivalence characterizations between $f$ being constant (balanced) and some properties of $f$'s subfunctions, and then we propose three distributed exact quantum algorithms for solving DJ problem. Our algorithms have essential acceleration over distributed classical deterministic algorithm, and can be extended to the case of multiple computing nodes. Compared with DJ algorithm, our algorithms can reduce the number of qubits and the depth of circuit implementing a single query operator. Therefore, we find that the structure of problem should be clarified for designing distributed quantum algorithm to solve it.

연구 동기 및 목표

• 디퓨즈-조자 문제에 대한 정확하고 확장 가능한 분산 양자 알고리즘이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 부분함수 분석을 통해 분산 환경에서 DJ 문제의 내재된 구조적 성질을 규명하기 위해.
• 쿼리 복잡도에서 고전적 결정론적 대비를 능가하는 분산 양자 알고리즘을 설계하기 위해.
• 원래 DJ 알고리즘에 비해 단일 쿼리 연산자에서 큐비트 수와 회로 깊이를 줄이기 위해.
• 양자 텔레포테이션과 제어 연산을 활용하여 다수의 계산 노드 간에 확장 가능하고 정확한 해를 제공하기 위해.

제안 방법

• 불리안 함수 f의 전역 상수성 또는 균형성과 그 2^t개의 부분함수 f_w의 성질을 연결하는 등가성 특성화를 유도하기 위해.
• 알고리즘 1을 설계하여 파울리-Z 및 XOR 연산을 사용해 두 부분함수를 비교하며, 이는 오직 두 노드 환경에서만 적합하다.
• 분산 시몬 알고리즘 기법과 HHL 알고리즘 기법을 변형하여 제어 회전과 유니터리 연산을 사용해 부분함수 값의 집계를 수행하는 알고리즘 2를 설계하기 위해.
• 알고리즘 1과 2의 전략을 융합하여 단일 게이트에서 큐비트 사용을 최소화하면서 다수의 노드를 지원하는 알고리즘 3을 설계하기 위해.
• 제어 큐비트를 노드 간 전송하기 위해 양자 텔레포테이션을 활용하여, 동시에 오라클 쿼리를 수행하고, 오라클당 큐비트 수를 O(n)에서 n−t+1로 감소시키기 위해.
• 제어 유니터리 연산과 측정 기반 후처리를 구현하여 정확한 해를 확률 1로 추출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디퓨즈-조자 문제의 어떤 구조적 성질이 정확한 분산 양자 계산을 가능하게 하는가?
• RQ2 부분함수 관계는 어떻게 활용되어 정확한 분산 양자 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 분산 양자 알고리즘이 디퓨즈-조자 문제에서 고전적 결정론적 분산 알고리즘보다 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ4 원래 DJ 알고리즘에 비해 분산 단일 쿼리 연산자에서 회로 깊이와 큐비트 수를 어떻게 최소화할 수 있는가?
• RQ5 양자 텔레포테이션은 분산 양자 알고리즘에서 확장성과 자원 오버헤드 감소에 얼마나 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 고전적 분산 결정론적 알고리즘에 비해 지수적 쿼리 복잡도 이점을 확보하며, 최악의 경우 2^{n-1}+1개의 쿼리가 필요하다.
• 알고리즘 1는 두 부분함수에만 국한되지만, 단일 쿼리 연산자에서 오직 1개의 큐비트만 사용하여 해당 경우의 큐비트 사용을 최소화한다.
• 알고리즘 2는 유니터리 연산자 U에 대해 2^t + t + 2개의 큐비트가 필요하지만, 알고리즘 3은 최대 단일 게이트 큐비트 수를 3·2^{t-1} + t - 1로 감소시킨다.
• 양자 텔레포테이션을 활용함으로써 오라클당 큐비트 수를 O(n)에서 n−t+1로 감소시켜 병렬 처리를 가능하게 하고 노이즈에 대한 내성을 향상시킨다.
• 알고리즘은 정확하고 확장 가능하며, DJ 알고리즘을 각 부분함수에 간단히 적용할 경우 발생할 수 있는 오차 누적이 방지된다.
• 성능 표를 분석한 결과, 더 큰 t 값에 대해 알고리즘 3가 알고리즘 2보다 큐비트 수와 게이트 수가 적어 더 나은 확장성을 보인다.