[논문 리뷰] Distributed Phase Estimation Algorithm and Distributed Shor's Algorithm

Ligang Xiao, Daowen Qiu외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 시대에 대규모 양자 오류 수정 장치가 아직 구현되지 않은 상황에서, Shor의 정수 인수분해 알고리즘을 위한 분산 양자-고전 하이브리드 순서 찾기 알고리즘을 제안한다. 이는 다수의 더 작은 양자 컴퓨터가 함께 작동하여 $ s/r $의 분수 부분을 더 적은 큐비트와 게이트 요구량으로 공동으로 추정할 수 있도록 한다. 겹치는 비트 추정치 간의 측정 오류를 고전적 후처리로 보정함으로써, 각 컴퓨터의 큐비트 수를 약 $ (1 - 1/k)L - \log_2 k $ 감소시키며, $ O(kL) $의 통신 복잡도를 유지한다.

ABSTRACT

Shor's algorithm is one of the most significant quantum algorithms. Shor's algorithm can factor large integers with a certain success probability in polynomial time. However, Shor's algorithm requires an unbearable amount of qubits in the NISQ (Noisy Intermediate-scale Quantum) era. To reduce the resources required for Shor's algorithm, in this paper we first propose a new distributed phase estimation algorithm. Our distributed phase estimation algorithm does not require quantum communication and it reduces the number of qubits of a single node compared to the traditional phase estimation algorithm (non-iterative version). Then we apply our distributed phase estimation algorithm to form a distributed order-finding algorithm for Shor's algorithm. Compared with the traditional Shor's algorithm (non-iterative version), the maximum number of qubits required by a single node of our dristributed order-finding algorithm is reduced by $(2-\dfrac{2}{k})L-\log_2k-O(1)$ when factoring an $L$-bit integer ($k$ is the number of compute nodes). The communication complexity of our distributed order-finding algorithm is $O(kL)$.

연구 동기 및 목표

• NISQ 시대에 대규모 고장 내성 양자 컴퓨터가 아직 구현되지 않은 상황에서 Shor 알고리즘의 높은 큐비트 및 회로 깊이 요구량을 해결하기 위해.
• 다수의 노드에 걸쳐 순서 찾기 작업을 분산시킴으로써, 개별 양자 컴퓨터의 자원 요구량—특히 큐비트, 게이트 복잡도 및 회로 깊이—를 줄이기 위해.
• 분산 양자 알고리즘에서의 통신 오버헤드를 최소화하여, 이전 접근 방식에서 관찰된 $ O(L^2) $ 대비 $ O(kL) $의 복잡도를 달성하기 위해.
• 부분적 비트 추정치에 대한 고전적 오류 보정과 양자 계산을 융합함으로써 Shor 알고리즘의 실용적 구현을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 $ k $개의 양자 컴퓨터에 걸쳐 Shor 알고리즘의 순서 찾기 단계를 분산 처리하며, 각 컴퓨터는 $ s/r $의 분수 부분의 서로 다른 세그먼트를 추정한다.
• 각 컴퓨터는 $ 2L+1+p $-큐비트 레지스터의 일부에 대해 단계 추정을 수행하며, 각 노드당 $ t_j = L/k + p + 2 $ 큐비트를 사용한다.
• 접근하는 컴퓨터들 간에 겹치는 비트 추정치를 사용하여, 고전적 후처리를 통해 측정 오류를 보정할 수 있도록 한다.
• 고전적 프로그램은 겹치는 비트들을 융합하고 검증함으로써 전체 $ s/r $ 추정치를 재구성하며, 개별 노드의 노이즈에도 불구하고 정확도를 향상시킨다.
• 연속된 컴퓨터 간에 $ L $ 큐비트를 전송하기 위해 양자 텔레포테이션을 사용하며, 각 전송에 대해 $ 2L $개의 고전적 비트가 필요하다.
• 알고리즘은 각 노드의 회로 내에서 양자 푸리에 변환과 제어된-$ U^a $ 연산을 사용하며, 마지막 노드를 제외한 모든 노드에서 깊이 및 게이트 복잡도가 $ 1/k $ 비례로 스케일링된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Shor 알고리즘의 순서 찾기 서브루틴을 $ k $개의 양자 컴퓨터에 효과적으로 분산시킬 수 있는가? 이는 노드당 자원 요구량을 줄일 수 있는가?
• RQ2 겹치는 비트 세그먼트에 대한 고전적 후처리를 통해 분산 단계 추정에서 발생하는 측정 오류를 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ3 분산 Shor 알고리즘에서 큐비트 감소, 회로 깊이, 통신 비용 간의 상충 관계는 어떠한가?
• RQ4 이전의 분산 기법에서 관찰된 $ O(L^2) $ 대비 통신 복잡도를 $ O(kL) $로 줄일 수 있는가?
• RQ5 이 하이브리드 양자-고전적 접근 방식을 고정밀 단계 추정이 필요한 다른 양자 알고리즘으로 확장하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 $ L $-비트 정수를 인수분해할 때, 전통적인 Shor 알고리즘 대비 각 컴퓨터에 필요한 큐비트 수를 약 $ (1 - 1/k)L - \log_2 k $ 감소시킨다.
• 첫 $ k-1 $개의 노드에 대해 게이트 복잡도는 $ O(L^3/k) $로 감소하며, 원래 알고리즘의 $ O(L^3) $ 대비 감소한다. 마지막 노드의 경우 $ O(L^3) $ 유지된다.
• 첫 $ k-1 $개의 노드에 대해 회로 깊이가 $ O(L^3/k) $로 감소하여, NISQ 제약 조건 하에서의 확장성 향상에 기여한다.
• 통신 복잡도는 $ O(kL) $이며, 이는 이전의 분산 Shor 알고리즘에서 관찰된 $ O(L^2) $ 복잡도에 비해 현저히 낮다.
• 자원 감소와 순차 실행 간의 트레이드오프가 가능하며, 고전적 보정이 개별 노드의 오류에도 불구하고 정확도를 향상시킨다.
• 알고리즘은 $ k $개의 노드로 확장 가능하며, 이산 로그 및 선형 시스템 문제와 같은 분산 양자 알고리즘으로의 확장에 대한 프레임워크를 제공한다.